Soczewka skupiająca i rozpraszająca – zadanie nr 4

Pewien przedmiot znajduje się po lewej stronie soczewki rozpraszającej, której ogniskowa f  = 40 cm. Wiedząc, że odległość przedmiotu od soczewki wynosi x  = 25 cm, oblicz w jakiej odległości y  od soczewki powstanie obraz tego przedmiotu.

Obraz przedmiotu wytwarzany przez soczewkę rozpraszającą promienie świetlne jest, niezależnie od położenia przedmiotu względem środka oraz ogniskowej soczewki, zawsze obrazem pozornym. Dzieje się tak dlatego, ponieważ obraz przedmiotu wytwarzany przez soczewkę rozpraszającą powstaje wskutek przedłużenia (a nie jak w przypadku soczewki skupiającej, rzeczywistego przecięcia) promieni świetlnych padających na jej powierzchnię. Ze względu na ten fakt ognisko soczewki rozpraszającej nazywane jest ogniskiem pozornym, a ogniskowa f  przyjmuje wartość ujemną.

Korzystając z tych informacji możemy zapisać równanie soczewki w następującej formie:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{f}$$

gdzie:
x  – odległość przedmiotu od środka soczewki,
y  – odległość obrazu od środka soczewki,
f  – ogniskowa soczewki.

Wielkością szukaną w zadaniu jest odległość y. Przekształcając powyższy wzór względem wielkości 1/y, dostaniemy:

$$\frac{1}{y} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{f} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{x} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \left( \frac{1}{f} + \frac{1}{x} \right) = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{x + f}{f \cdot x}$$

Po odwróceniu stronami, otrzymamy:

$$y = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{f \cdot x}{x + f}$$

Wstawiając do powyższego wzoru wartości liczbowe podane w treści zadania oraz wykonując obliczenia otrzymamy szukaną wartość y, równą:

$$y = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{40 \hspace{.05cm} \textrm{cm} \cdot 25\hspace{.05cm} \textrm{cm}}{25 \hspace{.05cm} \textrm{cm} + 40 \hspace{.05cm} \textrm{cm}} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1000 \hspace{.05cm} \textrm{cm}^2}{65 \hspace{.05cm} \textrm{cm}} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 15,\hspace{-.1cm}4 \hspace{.05cm} \textrm{cm}$$

Znak minus informuje nas, że obraz przedmiotu znajduje się po tej samej stronie soczewki, co przedmiot (obraz pozorny), potwierdzając tym samym prawdziwość uzyskanego wyniku.