Soczewka skupiająca i rozpraszająca – zadanie nr 3

Dwie soczewki skupiające o jednakowych parametrach geometrycznych wykonano z różnych rodzajów szkła. Wiedząc, że współczynniki załamania szkieł, z których wykonano soczewki wynoszą odpowiednio n₁  = 1,5 i n₂  = 1,9, oblicz ile wynosi stosunek ogniskowych tych dwóch soczewek.

Wielkością szukaną w zadaniu jest stosunek ogniskowych dwóch soczewek skupiających o jednakowych parametrach geometrycznych, lecz o różnych współczynnikach załamania światła równych n₁  i n₂ . Wartości współczynników załamania światła soczewek są znane, dlatego też musimy powiązać je z ich ogniskowymi f₁  i f₂ . Zależność wiążącą ogniskową f  dowolnej soczewki z jej współczynnikiem załamania n  oraz z jej promieniami krzywizny r₁  i r₂ , opisuje poniższe wyrażenie, nazywane wzorem szlifierzy soczewek:

$$\frac{1}{f} = \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{1}{r_1} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{r_2} \right)$$

które dla soczewki skupiającej przyjmuje następującą postać:

$$\frac{1}{f} = \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right)$$

Zgodnie z treścią zadania parametry geometryczne obydwu soczewek tj. ich promienie krzywizny r₁  i r₂ , są jednakowe, w związku z czym powyższe równanie dla jednej oraz drugiej soczewki będzie różnić się tylko wartością współczynnika załamania n  oraz ogniskowej f. Dla pierwszej soczewki dostaniemy więc:

$$\frac{1}{f_1} = \left( n_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right)$$

a dla drugiej:

$$\frac{1}{f_2} = \left( n_2 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right)$$

Aby uzyskać wyrażenie na stosunek ogniskowych soczewek f₁ /f₂ , odwrócimy stronami dwa podane wyżej wzory. Otrzymamy wówczas:

$$f_1 = \frac{1}{ \left( n_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2} \right)}$$

oraz

$$f_2 = \frac{1}{ \left( n_2 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2} \right)}$$

Dzieląc następnie te równania przez siebie, dostaniemy:

$$\frac{f_1}{f_2} = \dfrac{\dfrac{1}{ \left( n_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2} \right)}}{\dfrac{1}{ \left( n_2 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2} \right)}} = \frac{\left( n_2 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2} \right)}{\left( n_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2} \right)} = \frac{n_2 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1}{n_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1}$$

i w konsekwencji szukaną wartość stosunku ogniskowych f₁ /f₂  równą:

$$\frac{f_1}{f_2} = \frac{1,\hspace{-.1cm}9 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 1} {1,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} 1} = 1,\hspace{-.1cm}8$$