Soczewka skupiająca i rozpraszająca – zadanie nr 2

Oblicz w jakiej odległości od soczewki skupiającej o ogniskowej f  = 10 cm należy umieścić przedmiot, aby jego pozorny obraz otrzymać w odległości dobrego widzenia równej y  = 25 cm. Oblicz powiększenie przedmiotu otrzymane w tej soczewce.

Aby obliczyć odległość przedmiotu od soczewki skupiającej skorzystamy z równania soczewki:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{f}$$

gdzie:
x  – odległość przedmiotu od środka soczewki,
y  – odległość obrazu od środka soczewki,
f  – ogniskowa soczewki.

Wartość ogniskowej f  oraz odległość obrazu y  podano w treści zadania. Wiemy, że obraz przedmiotu jest obrazem pozornym (znajduje się po tej samej stronie soczewki co przedmiot), dlatego odległość y  musi przyjmować wartość ujemną. Korzystając z tego faktu możemy zapisać powyższe równanie w następującej formie:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} y} = \frac{1}{f} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \frac{1}{x} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{y} = \frac{1}{f}$$

Po przekształceniu powyższego wzoru względem wielkości 1/x , dostaniemy:

$$\frac{1}{x} = \frac{1}{f} + \frac{1}{y} = \frac{y + f}{f \cdot y}$$

skąd po odwróceniu stronami, otrzymamy:

$$x = \frac{f \cdot y}{y + f} = \frac{10 \hspace{.05cm} \textrm{cm} \cdot 25 \hspace{.05cm} \textrm{cm}}{25 \hspace{.05cm} \textrm{cm} + 10 \hspace{.05cm} \textrm{cm}} = \frac{250 \hspace{.05cm} \textrm{cm}^2}{35 \hspace{.05cm} \textrm{cm}} = 7,\hspace{-.1cm}1 \hspace{.05cm} \textrm{cm}$$

Znając wartość x  oraz y  możemy przystąpić do obliczenia powiększenia przedmiotu otrzymanego przy użyciu tej soczewki. Powiększenie liniowe p  soczewki opisuje poniższe wyrażenie:

$$p = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{y}{x}$$

W naszym przypadku y  jest ujemne, dlatego:

$$p = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} y}{x} = \frac{y}{x}$$

Po podstawieniu do powyższego równania wartości liczbowych podanych w treści zadania uzyskamy wartość powiększenia p  równą:

$$p = \frac{25 \hspace{.05cm} \textrm{cm}}{7,\hspace{-.1cm}1 \hspace{.05cm} \textrm{cm}} = 3,\hspace{-.1cm}5$$

Dodatnia wartość powiększenia oznacza, że obraz przedmiotu jest obrazem prostym tj. posiada taką samą orientację co przedmiot.