Soczewka skupiająca i rozpraszająca – zadanie nr 10

Przed soczewką płasko-wypukłą wykonaną ze szkła o współczynniku załamania n  = 1,5 ustawiono w odległości x  = 10 cm przedmiot otrzymując na ekranie jego rzeczywisty obraz. Wiedząc, że powiększenie obrazu było równe -2, oblicz promień krzywizny soczewki.

Soczewka płasko-wypukła to soczewka składająca się, jak sama nazwa wskazuje, z płaskiej oraz wypukłej powierzchni załamującej promienie świetlne. Aby obliczyć promień krzywizny tej soczewki skorzystamy ze wzoru, nazywanego wzorem szlifierzy soczewek:

$$\frac{1}{f} = \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{1}{r_1} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{r_2} \right)$$

gdzie:
f  – ogniskowa soczewki,
n  – współczynnik załamania materiału, z którego wykonano soczewkę,
r₁  i r₂  – promienie krzywizny soczewki.

który dla soczewki płasko-wypukłej przyjmuje następującą postać:

$$\frac{1}{f} = \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right)$$

Ze względu na fakt, że jedna z powierzchni załamujących soczewki jest powierzchnią płaską, stanowiącą szczególny przypadek sferycznej powierzchni załamującej światło o promieniu krzywizny r₁  = ∞, dlatego też wielkością szukaną w zadaniu jest promień krzywizny r₂  wypukłej powierzchni. Wstawiając do powyższego równania r₁  = ∞ dostaniemy:

$$\frac{1}{f} = \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{1}{\infty} + \frac{1}{r_2} \right) = \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( 0 + \frac{1}{r_2} \right) = \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \frac{1}{r_2}$$

Po podzieleniu tego wyrażenia przez wielkość (n  – 1) oraz po odwróceniu uzyskanego wzoru stronami, otrzymamy:

$$\frac{1}{f \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right)} = \frac{1}{r_2} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} r_2 = f \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right)$$

Współczynnik załamania n  soczewki jest wielkością znaną. Ogniskową f  wyznaczymy korzystając z równania soczewki:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{f}$$

gdzie:
x  – odległość przedmiotu od środka soczewki,
y  – odległość obrazu od środka soczewki,
f  – ogniskowa soczewki.

Wprawdzie odległość y  również nie jest podana w treści zadania, jednak możemy ją powiązać ze znanym powiększeniem p  obrazu wynoszącym:

$$p = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{y}{x} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 2$$

Po przekształceniu powyższej zależności względem y  dostaniemy:

$$\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} y = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 2 \hspace{.05cm} x \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} y = 2 \hspace{.05cm} x$$

Wstawiając następnie tą zależność do równania soczewki otrzymamy:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{2 \hspace{.05cm} x} = \frac{2 \hspace{.05cm} x + x}{2 \hspace{.05cm} x^2} = \frac{3}{2 \hspace{.05cm} x} = \frac{1}{f}$$

i w konsekwencji:

$$f = \frac{2 \hspace{.05cm} x}{3}$$

Znając wyrażenie na ogniskową f  soczewki możemy podstawić je do wzoru na r₂ , uzyskując:

$$r_2 = f \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) = \frac{2 \hspace{.05cm} x}{3} \cdot \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) = \frac{2 \cdot 10 \hspace{.05cm} \textrm{cm}}{3} \cdot \left( 1,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) = 3,\hspace{-.1cm}3 \hspace{.05cm} \textrm{cm}$$