Soczewka skupiająca i rozpraszająca – zadanie nr 10

Przed soczewką płasko-wypukłą wykonaną ze szkła o współczynniku załamania n  = 1,5 ustawiono w odległości x  = 10 cm przedmiot otrzymując na ekranie jego rzeczywisty obraz. Wiedząc, że powiększenie obrazu było równe -2, oblicz promień krzywizny soczewki.

Soczewka płasko-wypukła to soczewka składająca się, jak sama nazwa wskazuje, z płaskiej oraz wypukłej powierzchni załamującej promienie świetlne. Aby obliczyć promień krzywizny tej soczewki skorzystamy ze wzoru, nazywanego wzorem szlifierzy soczewek:

$$\frac{1}{f}=\left(n–1\right)\left(\frac{1}{r_1}–\frac{1}{r_2}\right)$$

gdzie:
f  – ogniskowa soczewki,
n  – współczynnik załamania materiału, z którego wykonano soczewkę,
r₁  i r₂  – promienie krzywizny soczewki.

który dla soczewki płasko-wypukłej przyjmuje następującą postać:

$$\frac{1}{f}=\left(n–1\right)(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})$$

Ze względu na fakt, że jedna z powierzchni załamujących soczewki jest powierzchnią płaską, stanowiącą szczególny przypadek sferycznej powierzchni załamującej światło o promieniu krzywizny r₁  = ∞, dlatego też wielkością szukaną w zadaniu jest promień krzywizny r₂  wypukłej powierzchni. Wstawiając do powyższego równania r₁  = ∞ dostaniemy:

$$\frac{1}{f}=\left(n–1\right)(\frac{1}{\mathrm{\infty }}+\frac{1}{r_2})=\left(n–1\right)(0+\frac{1}{r_2})=\left(n–1\right)\frac{1}{r_2}$$

Po podzieleniu tego wyrażenia przez wielkość (n  – 1) oraz po odwróceniu uzyskanego wzoru stronami, otrzymamy:

$$\frac{1}{f\left(n–1\right)}=\frac{1}{r_2}⟶r_2=f\left(n–1\right)$$

Współczynnik załamania n  soczewki jest wielkością znaną. Ogniskową f  wyznaczymy korzystając z równania soczewki:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{f}$$

gdzie:
x  – odległość przedmiotu od środka soczewki,
y  – odległość obrazu od środka soczewki,
f  – ogniskowa soczewki.

Wprawdzie odległość y  również nie jest podana w treści zadania, jednak możemy ją powiązać ze znanym powiększeniem p  obrazu wynoszącym:

$$p=–\frac{y}{x}=–2$$

Po przekształceniu powyższej zależności względem y  dostaniemy:

$$–y=–2x⟶y=2x$$

Wstawiając następnie tą zależność do równania soczewki otrzymamy:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}=\frac{2x+x}{2x^2}=\frac{3}{2x}=\frac{1}{f}$$

i w konsekwencji:

$$f=\frac{2x}{3}$$

Znając wyrażenie na ogniskową f  soczewki możemy podstawić je do wzoru na r₂ , uzyskując:

$$r_2=f\left(n–1\right)=\frac{2x}{3}\cdot \left(n–1\right)=\frac{2\cdot 10\text{cm}}{3}\cdot (1,5–1)=3,3\text{cm}$$