Soczewka skupiająca i rozpraszająca – zadanie nr 11

Jakie promienie krzywizny powinna mieć soczewka symetryczna wykonana z ciężkiego szkła (flint) o współczynniku załamania n  = 1,65, aby jej zdolność skupiająca w wodzie o współczynniku załamania n_w  = 1,33 wynosiła Z  = 2 D?

Aby obliczyć długość promieni krzywizny powierzchni załamujących soczewki skorzystamy ze wzoru szlifierzy soczewek, który dla soczewek symetrycznych przyjmuje poniższą postać:

$$\frac{1}{f} = \left( \frac{n}{n_{osr}} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right)$$

gdzie:
f  – ogniskowa soczewki,
n  – współczynnik załamania materiału, z którego wykonano soczewkę,
n_osr  – współczynnik załamania ośrodka, w którym znajduje się soczewka,
r₁  i  r₂  – promienie krzywizny powierzchni załamujących soczewki.

Wartość współczynników załamania n  i n_osr  jest znana – w naszym przypadku n_osr  odpowiada współczynnikowi załamania wody n_w . Nieznaną wartość ogniskowej f  soczewki powiążemy z jej (zakładaną) zdolnością skupiającą Z  w wodzie równą 2 D. Ponieważ:

$$Z = \frac{1}{f}$$

zatem:

$$Z = \left( \frac{n}{n_w} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right)$$

Korzystając z faktu, że soczewka ta jest soczewką symetryczną tj. soczewką składającą się z dwóch powierzchni załamujących o jednakowych promieniach krzywizny r₁  = r₂  = r, dostaniemy:

$$Z = \left( \frac{n}{n_w} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{1}{r} + \frac{1}{r} \right) = \left( \frac{n}{n_w} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{r + r}{r^2} \right) = \left( \frac{n}{n_w} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \frac{2}{r}$$

skąd po przekształceniu względem r, otrzymamy:

$$\frac{Z}{2 \left( \dfrac{n}{n_w} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right)} = \frac{1}{r} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} r = \frac{2 \left( \dfrac{n}{n_w} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right)}{Z}$$

Po wstawieniu do powyższego wzoru wartości liczbowych podanych w treści zadania oraz wykonaniu obliczeń dostaniemy szukaną długość promienia krzywizny, równą:

$$r = \frac{2 \cdot \left( \dfrac{1,\hspace{-.1cm}65}{1,\hspace{-.1cm}33} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right)}{2 \hspace{.05cm} \textrm{D}} = 0,\hspace{-.1cm}24 \hspace{.05cm} \textrm{m}$$