Soczewka skupiająca i rozpraszająca – zadanie nr 12

Pewien przedmiot ustawiono w odległości x  = 20 cm od soczewki skupiającej. Promienie krzywizny soczewki wynoszą r₁  = 10 cm i r₂  = 5 cm. Obraz przedmiotu powstał w odległości y  = 10 cm za soczewką. Oblicz współczynnik załamania materiału soczewki oraz jej ogniskową.

W zadaniu tym skorzystamy z dwóch wzorów: równania soczewki

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{f}$$

gdzie:
x  – odległość przedmiotu od środka soczewki,
y  – odległość obrazu od środka soczewki,
f  – ogniskowa soczewki,

oraz ze wzoru szlifierzy soczewek, który dla soczewki skupiającej przyjmuje poniższą postać:

$$\frac{1}{f} = \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right)$$

gdzie:
f  – ogniskowa soczewki,
n  – współczynnik załamania materiału, z którego wykonano soczewkę,
r₁  i  r₂  – promienie krzywizny powierzchni załamujących soczewki.

W oparciu o pierwsze równanie obliczymy ogniskową f  soczewki, by później podstawić ją do drugiego równania w celu wyznaczenia wartości współczynnika załamania materiału soczewki.

Zajmijmy się więc pierwszą częścią zadania. Aby znaleźć wyrażenie na ogniskową f  soczewki należy najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika wielkość 1/x  + 1/y  występującą w równaniu soczewki, by w następnym kroku odwrócić stronami uzyskane wyrażenie i uzyskać wzór na ogniskową f :

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y + x}{x \cdot y} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} f = \frac{x \cdot y}{y + x}$$

Po wstawieniu w miejsce x  i y  wartości liczbowych podanych w treści zadania oraz wykonaniu obliczeń, dostaniemy:

$$f = \frac{20 \hspace{.05cm} \textrm{cm} \cdot 10 \hspace{.05cm} \textrm{cm}}{10 \hspace{.05cm} \textrm{cm} + 20 \hspace{.05cm} \textrm{cm}} = \frac{200 \hspace{.05cm} \textrm{cm}^2}{30 \hspace{.05cm} \textrm{cm}} = 6,\hspace{-.1cm}7 \hspace{.05cm} \textrm{cm}$$

Znając długość ogniskowej f  soczewki możemy przystąpić do drugiej części zadania. Jak napisaliśmy wcześniej wielkością szukaną jest współczynnik załamania n  soczewki. Przekształcając więc wzór szlifierzy soczewek względem n, otrzymamy:

$$\left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) = \frac{1}{f \left( \dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2} \right)} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} n = 1 + \frac{1}{f \left( \dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2} \right)}$$

Po wstawieniu wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń dostaniemy wartość n, równą:

$$n = 1 + \frac{1}{6,\hspace{-.1cm}7 \hspace{.05cm} \textrm{cm} \cdot \left( \dfrac{1}{10 \hspace{.05cm} \textrm{cm}} + \dfrac{1}{5 \hspace{.05cm} \textrm{cm}} \right)} = 1 + \frac{1}{6,\hspace{-.1cm}7 \hspace{.05cm} \textrm{cm} \cdot 0,\hspace{-.1cm}3 \hspace{.05cm} \frac{1}{\textrm{cm}}} = 1,\hspace{-.1cm}5$$

Uzyskana wartość współczynnika załamania odpowiada współczynnikowi załamania typowego, lekkiego szkła, określanego mianem kron.