Soczewka skupiająca i rozpraszająca – zadanie nr 13

Optyka - zadania
Brak komentarzy
Drukuj

Przy użyciu soczewki skupiającej uzyskano obraz przedmiotu o powiększeniu p  = -2,5. Oblicz, gdzie ustawiono przedmiot, jeżeli soczewka jest wykonana ze szkła o współczynniku załamania n  = 1,4, a jej promienie krzywizny są jednakowe i wynoszą r1  = r2  = 10 cm. Czy zmieni się miejsce uzyskania obrazu, jeżeli soczewkę umieścimy w wodzie o współczynniku załamania nw  = 1,33?

rozwiązanie

Wielkością szukaną w zadaniu jest odległość przedmiotu od środka soczewki. Aby ją wyznaczyć skorzystamy z równania soczewki:

1x+1y=1f

gdzie:
x  – szukana odległość przedmiotu od środka soczewki,
y  – odległość obrazu od środka soczewki,
f  – ogniskowa soczewki,

oraz ze wzoru szlifierzy soczewek, który dla soczewki skupiającej przyjmuje poniższą postać:

1f=(nnosr1)(1r1+1r2)

gdzie:
n  – współczynnik załamania materiału, z którego wykonano soczewkę,
nosr  – współczynnik załamania ośrodka, w którym znajduje się soczewka,
r1  i  r2  – promienie krzywizny powierzchni załamujących soczewki.

Zgodnie z treścią zadania powierzchnie załamujące soczewki mają jednakowe promienie krzywizny, dlatego r1  = r2  = r. Dodatkowo, zakładając, że soczewka ta znajduje się w powietrzu (współczynnik załamania materiału jest najczęściej określany względem powietrza), którego współczynnik załamania z dobrym przybliżeniem równa się jedności, dostaniemy: nosr  = npow  = 1. Korzystając z tych informacji możemy zapisać powyższe równanie w następującej formie:

1f=(n1)(1r+1r)=(n1)(r+rr2)=(n1)2r

Podstawiając następnie powyższe wyrażenie w miejsce 1/f  w równaniu soczewki, podanego na wstępie zadania, dostaniemy:

2r(n1)=1x+1y

Odległość obrazu od soczewki (y ) nie jest znana. Możemy ją jednak powiązać ze znanym powiększeniem p  obrazu:

p=yx

Przekształcając powyższe równanie względem odległości y, otrzymamy:

y=px

i w konsekwencji:

2r(n1)=1x+1px=px+xpx2=x(1p)px2=1ppx

Po odwróceniu stronami, otrzymamy:

px1p=r2(n1)

i w efekcie szukaną odległość x, równą:

x=(1p)r2p(n1)=(1(2,5))0,1m2(2,5)(1,41)=0,175m=17,5cm

Aby dowiedzieć się czy po umieszczeniu tej soczewki w wodzie zmianie ulegnie położenie obrazu, które w celu rozróżnienia oznaczymy jako y’, obliczmy na początek odległość obrazu y  od soczewki, gdy ta znajduje się w powietrzu. Ponieważ wiemy, że x  = 17,5 cm, a p  = – 2,5, zatem:

y=px=(2,5)17,5cm=43,75cm

Dodatnia wartość odległości y  oznacza, że obraz przedmiotu znajduje się po przeciwnej stronie soczewki, niż przedmiot, w związku z czym obraz przedmiotu jest obrazem rzeczywistym.

Znając odległość y  możemy przystąpić do obliczenia odległości y’. W tym celu skorzystamy ponownie ze wzoru szlifierzy soczewek, podstawiając jednak w miejsce nosr  współczynnik załamania wody nw  oraz wprowadzając dodatkowy znacznik ' do ogniskowej soczewki celem odróżnienia ogniskowej soczewki znajdującej się w powietrzu od ogniskowej soczewki umieszczonej w wodzie. Dostaniemy:

1f=(nnw1)2r

Po podstawieniu powyższej relacji do równania soczewki, otrzymamy:

1x+1y=1f1y=1f1x=(nnw1)2r1x=2x(nnw1)rrx

i w konsekwencji (po odwróceniu stronami powyższego równania) odległość y’, równą:

y=rx2x(nnw1)r=10cm17,5cm217,5cm(1,41,331)10cm=21,5cm

Ujemna wartość odległości y’  oznacza, że obraz przedmiotu znajduje się po tej samej stronie soczewki co przedmiot. W związku z powyższym umieszczenie soczewki w wodzie spowoduje powstanie obrazu pozornego przedmiotu.

Dodaj komentarz