Soczewka skupiająca i rozpraszająca – zadanie nr 13

Przy użyciu soczewki skupiającej uzyskano obraz przedmiotu o powiększeniu p  = -2,5. Oblicz, gdzie ustawiono przedmiot, jeżeli soczewka jest wykonana ze szkła o współczynniku załamania n  = 1,4, a jej promienie krzywizny są jednakowe i wynoszą r₁  = r₂  = 10 cm. Czy zmieni się miejsce uzyskania obrazu, jeżeli soczewkę umieścimy w wodzie o współczynniku załamania n_w  = 1,33?

Wielkością szukaną w zadaniu jest odległość przedmiotu od środka soczewki. Aby ją wyznaczyć skorzystamy z równania soczewki:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{f}$$

gdzie:
x  – szukana odległość przedmiotu od środka soczewki,
y  – odległość obrazu od środka soczewki,
f  – ogniskowa soczewki,

oraz ze wzoru szlifierzy soczewek, który dla soczewki skupiającej przyjmuje poniższą postać:

$$\frac{1}{f} = \left( \frac{n}{n_{osr}} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right)$$

gdzie:
n  – współczynnik załamania materiału, z którego wykonano soczewkę,
n_osr  – współczynnik załamania ośrodka, w którym znajduje się soczewka,
r₁  i  r₂  – promienie krzywizny powierzchni załamujących soczewki.

Zgodnie z treścią zadania powierzchnie załamujące soczewki mają jednakowe promienie krzywizny, dlatego r₁  = r₂  = r. Dodatkowo, zakładając, że soczewka ta znajduje się w powietrzu (współczynnik załamania materiału jest najczęściej określany względem powietrza), którego współczynnik załamania z dobrym przybliżeniem równa się jedności, dostaniemy: n_osr  = n_pow  = 1. Korzystając z tych informacji możemy zapisać powyższe równanie w następującej formie:

$$\frac{1}{f} = \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{1}{r} + \frac{1}{r} \right) = \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{r + r}{r^2} \right) = \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \frac{2}{r}$$

Podstawiając następnie powyższe wyrażenie w miejsce 1/f  w równaniu soczewki, podanego na wstępie zadania, dostaniemy:

$$\frac{2}{r} \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$$

Odległość obrazu od soczewki (y ) nie jest znana. Możemy ją jednak powiązać ze znanym powiększeniem p  obrazu:

$$p = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{y}{x}$$

Przekształcając powyższe równanie względem odległości y, otrzymamy:

$$y = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p \hspace{.05cm} x$$

i w konsekwencji:

$$\frac{2}{r} \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) = \frac{1}{x} + \frac{1}{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p \hspace{.05cm} x} = \frac{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p \hspace{.05cm} x + x}{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p \hspace{.05cm} x^2} = \frac{x \left( 1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p \right)}{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p \hspace{.05cm} x^2} = \frac{1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p}{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p \hspace{.05cm} x}$$

Po odwróceniu stronami, otrzymamy:

$$\frac{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p \hspace{.05cm} x}{1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p} = \frac{r}{2 \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right)}$$

i w efekcie szukaną odległość x, równą:

$$x = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{\left( 1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p \right) r}{2 \hspace{.1cm} p \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right)} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{\left( 1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \left( \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 2,\hspace{-.1cm}5 \right) \right) \cdot 0,\hspace{-.1cm}1 \hspace{.05cm} \textrm{m}}{2 \cdot \left( \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 2,\hspace{-.1cm}5 \right) \cdot \left( 1,\hspace{-.1cm}4 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right)} = 0,\hspace{-.1cm}175 \hspace{.05cm} \textrm{m} = 17,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{cm}$$

Aby dowiedzieć się czy po umieszczeniu tej soczewki w wodzie zmianie ulegnie położenie obrazu, które w celu rozróżnienia oznaczymy jako y’, obliczmy na początek odległość obrazu y  od soczewki, gdy ta znajduje się w powietrzu. Ponieważ wiemy, że x  = 17,5 cm, a p  = – 2,5, zatem:

$$y = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p \hspace{.05cm} x = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \left( \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 2,\hspace{-.1cm}5 \right) \cdot 17,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{cm} = 43,\hspace{-.1cm}75 \hspace{.05cm} \textrm{cm}$$

Dodatnia wartość odległości y  oznacza, że obraz przedmiotu znajduje się po przeciwnej stronie soczewki, niż przedmiot, w związku z czym obraz przedmiotu jest obrazem rzeczywistym.

Znając odległość y  możemy przystąpić do obliczenia odległości y’. W tym celu skorzystamy ponownie ze wzoru szlifierzy soczewek, podstawiając jednak w miejsce n_osr  współczynnik załamania wody n_w  oraz wprowadzając dodatkowy znacznik ' do ogniskowej soczewki celem odróżnienia ogniskowej soczewki znajdującej się w powietrzu od ogniskowej soczewki umieszczonej w wodzie. Dostaniemy:

$$\frac{1}{f’} = \left( \frac{n}{n_w} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \frac{2}{r}$$

Po podstawieniu powyższej relacji do równania soczewki, otrzymamy:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y’} = \frac{1}{f’} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \frac{1}{y’} = \frac{1}{f’} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{x} = \left( \frac{n}{n_w} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \frac{2}{r} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{x} = \frac{2 \hspace{.05cm} x \left( \dfrac{n}{n_w} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} r}{r \hspace{.05cm} x}$$

i w konsekwencji (po odwróceniu stronami powyższego równania) odległość y’, równą:

$$y’ = \frac{r \hspace{.05cm} x}{2 \hspace{.05cm} x \left( \dfrac{n}{n_w} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} r} = \frac{10 \hspace{.05cm} \textrm{cm} \cdot 17,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{cm}}{2 \cdot 17,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{cm} \cdot \left( \dfrac{1,\hspace{-.1cm}4}{1,\hspace{-.1cm}33} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 10 \hspace{.05cm} \textrm{cm}} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 21,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{cm}$$

Ujemna wartość odległości y’  oznacza, że obraz przedmiotu znajduje się po tej samej stronie soczewki co przedmiot. W związku z powyższym umieszczenie soczewki w wodzie spowoduje powstanie obrazu pozornego przedmiotu.