Soczewka skupiająca i rozpraszająca – zadanie nr 13

Przy użyciu soczewki skupiającej uzyskano obraz przedmiotu o powiększeniu p  = -2,5. Oblicz, gdzie ustawiono przedmiot, jeżeli soczewka jest wykonana ze szkła o współczynniku załamania n  = 1,4, a jej promienie krzywizny są jednakowe i wynoszą r₁  = r₂  = 10 cm. Czy zmieni się miejsce uzyskania obrazu, jeżeli soczewkę umieścimy w wodzie o współczynniku załamania n_w  = 1,33?

Wielkością szukaną w zadaniu jest odległość przedmiotu od środka soczewki. Aby ją wyznaczyć skorzystamy z równania soczewki:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{f}$$

gdzie:
x  – szukana odległość przedmiotu od środka soczewki,
y  – odległość obrazu od środka soczewki,
f  – ogniskowa soczewki,

oraz ze wzoru szlifierzy soczewek, który dla soczewki skupiającej przyjmuje poniższą postać:

$$\frac{1}{f}=\left(\frac{n}{n_{osr}}–1\right)(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})$$

gdzie:
n  – współczynnik załamania materiału, z którego wykonano soczewkę,
n_osr  – współczynnik załamania ośrodka, w którym znajduje się soczewka,
r₁  i  r₂  – promienie krzywizny powierzchni załamujących soczewki.

Zgodnie z treścią zadania powierzchnie załamujące soczewki mają jednakowe promienie krzywizny, dlatego r₁  = r₂  = r. Dodatkowo, zakładając, że soczewka ta znajduje się w powietrzu (współczynnik załamania materiału jest najczęściej określany względem powietrza), którego współczynnik załamania z dobrym przybliżeniem równa się jedności, dostaniemy: n_osr  = n_pow  = 1. Korzystając z tych informacji możemy zapisać powyższe równanie w następującej formie:

$$\frac{1}{f}=\left(n–1\right)(\frac{1}{r}+\frac{1}{r})=\left(n–1\right)\left(\frac{r+r}{r^2}\right)=\left(n–1\right)\frac{2}{r}$$

Podstawiając następnie powyższe wyrażenie w miejsce 1/f  w równaniu soczewki, podanego na wstępie zadania, dostaniemy:

$$\frac{2}{r}\left(n–1\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$$

Odległość obrazu od soczewki (y ) nie jest znana. Możemy ją jednak powiązać ze znanym powiększeniem p  obrazu:

$$p=–\frac{y}{x}$$

Przekształcając powyższe równanie względem odległości y, otrzymamy:

$$y=–px$$

i w konsekwencji:

$$\frac{2}{r}\left(n–1\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{–px}=\frac{–px+x}{–p{x}^2}=\frac{x\left(1–p\right)}{–p{x}^2}=\frac{1–p}{–px}$$

Po odwróceniu stronami, otrzymamy:

$$\frac{–px}{1–p}=\frac{r}{2\left(n–1\right)}$$

i w efekcie szukaną odległość x, równą:

$$x=–\frac{\left(1–p\right)r}{2p\left(n–1\right)}=–\frac{\left(1–(–2,5)\right)\cdot 0,1\text{m}}{2\cdot (–2,5)\cdot (1,4–1)}=0,175\text{m}=17,5\text{cm}$$

Aby dowiedzieć się czy po umieszczeniu tej soczewki w wodzie zmianie ulegnie położenie obrazu, które w celu rozróżnienia oznaczymy jako y’, obliczmy na początek odległość obrazu y  od soczewki, gdy ta znajduje się w powietrzu. Ponieważ wiemy, że x  = 17,5 cm, a p  = – 2,5, zatem:

$$y=–px=–(–2,5)\cdot 17,5\text{cm}=43,75\text{cm}$$

Dodatnia wartość odległości y  oznacza, że obraz przedmiotu znajduje się po przeciwnej stronie soczewki, niż przedmiot, w związku z czym obraz przedmiotu jest obrazem rzeczywistym.

Znając odległość y  możemy przystąpić do obliczenia odległości y’. W tym celu skorzystamy ponownie ze wzoru szlifierzy soczewek, podstawiając jednak w miejsce n_osr  współczynnik załamania wody n_w  oraz wprowadzając dodatkowy znacznik ' do ogniskowej soczewki celem odróżnienia ogniskowej soczewki znajdującej się w powietrzu od ogniskowej soczewki umieszczonej w wodzie. Dostaniemy:

$$\frac{1}{f^{\prime }}=\left(\frac{n}{n_w}–1\right)\frac{2}{r}$$

Po podstawieniu powyższej relacji do równania soczewki, otrzymamy:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y^{\prime }}=\frac{1}{f^{\prime }}⟶\frac{1}{y^{\prime }}=\frac{1}{f^{\prime }}–\frac{1}{x}=\left(\frac{n}{n_w}–1\right)\frac{2}{r}–\frac{1}{x}=\frac{2x\left({\displaystyle \frac{n}{n_w}}–1\right)–r}{rx}$$

i w konsekwencji (po odwróceniu stronami powyższego równania) odległość y’, równą:

$$y^{\prime }=\frac{rx}{2x\left({\displaystyle \frac{n}{n_w}}–1\right)–r}=\frac{10\text{cm}\cdot 17,5\text{cm}}{2\cdot 17,5\text{cm}\cdot \left({\displaystyle \frac{1,4}{1,33}}–1\right)–10\text{cm}}=–21,5\text{cm}$$

Ujemna wartość odległości y’  oznacza, że obraz przedmiotu znajduje się po tej samej stronie soczewki co przedmiot. W związku z powyższym umieszczenie soczewki w wodzie spowoduje powstanie obrazu pozornego przedmiotu.