Soczewka skupiająca i rozpraszająca – zadanie nr 13
Przy użyciu soczewki skupiającej uzyskano obraz przedmiotu o powiększeniu p = -2,5. Oblicz, gdzie ustawiono przedmiot, jeżeli soczewka jest wykonana ze szkła o współczynniku załamania n = 1,4, a jej promienie krzywizny są jednakowe i wynoszą r1 = r2 = 10 cm. Czy zmieni się miejsce uzyskania obrazu, jeżeli soczewkę umieścimy w wodzie o współczynniku załamania nw = 1,33?
Wielkością szukaną w zadaniu jest odległość przedmiotu od środka soczewki. Aby ją wyznaczyć skorzystamy z równania soczewki:
gdzie:
x – szukana odległość przedmiotu od środka soczewki,
y – odległość obrazu od środka soczewki,
f – ogniskowa soczewki,
oraz ze wzoru szlifierzy soczewek, który dla soczewki skupiającej przyjmuje poniższą postać:
gdzie:
n – współczynnik załamania materiału, z którego wykonano soczewkę,
nosr – współczynnik załamania ośrodka, w którym znajduje się soczewka,
r1 i r2 – promienie krzywizny powierzchni załamujących soczewki.
Zgodnie z treścią zadania powierzchnie załamujące soczewki mają jednakowe promienie krzywizny, dlatego r1 = r2 = r. Dodatkowo, zakładając, że soczewka ta znajduje się w powietrzu (współczynnik załamania materiału jest najczęściej określany względem powietrza), którego współczynnik załamania z dobrym przybliżeniem równa się jedności, dostaniemy: nosr = npow = 1. Korzystając z tych informacji możemy zapisać powyższe równanie w następującej formie:
Podstawiając następnie powyższe wyrażenie w miejsce 1/f w równaniu soczewki, podanego na wstępie zadania, dostaniemy:
Odległość obrazu od soczewki (y ) nie jest znana. Możemy ją jednak powiązać ze znanym powiększeniem p obrazu:
Przekształcając powyższe równanie względem odległości y, otrzymamy:
i w konsekwencji:
Po odwróceniu stronami, otrzymamy:
i w efekcie szukaną odległość x, równą:
Aby dowiedzieć się czy po umieszczeniu tej soczewki w wodzie zmianie ulegnie położenie obrazu, które w celu rozróżnienia oznaczymy jako y’, obliczmy na początek odległość obrazu y od soczewki, gdy ta znajduje się w powietrzu. Ponieważ wiemy, że x = 17,5 cm, a p = – 2,5, zatem:
Dodatnia wartość odległości y oznacza, że obraz przedmiotu znajduje się po przeciwnej stronie soczewki, niż przedmiot, w związku z czym obraz przedmiotu jest obrazem rzeczywistym.
Znając odległość y możemy przystąpić do obliczenia odległości y’. W tym celu skorzystamy ponownie ze wzoru szlifierzy soczewek, podstawiając jednak w miejsce nosr współczynnik załamania wody nw oraz wprowadzając dodatkowy znacznik ' do ogniskowej soczewki celem odróżnienia ogniskowej soczewki znajdującej się w powietrzu od ogniskowej soczewki umieszczonej w wodzie. Dostaniemy:
Po podstawieniu powyższej relacji do równania soczewki, otrzymamy:
i w konsekwencji (po odwróceniu stronami powyższego równania) odległość y’, równą:
Ujemna wartość odległości y’ oznacza, że obraz przedmiotu znajduje się po tej samej stronie soczewki co przedmiot. W związku z powyższym umieszczenie soczewki w wodzie spowoduje powstanie obrazu pozornego przedmiotu.
Dodaj komentarz