Soczewka skupiająca i rozpraszająca – zadanie nr 14

Optyka - zadania
Brak komentarzy
Drukuj

Dla jakiej wartości współczynnika załamania n  materiału symetrycznej dwuwypukłej soczewki umieszczonej w powietrzu, jej ogniska pokrywają się ze środkami krzywizny powierzchni załamujących soczewki?

rozwiązanie

Aby rozwiązać to zadanie skorzystamy ze wzoru szlifierzy soczewek, który dla dwuwypukłej soczewki umieszczonej w powietrzu przedstawia się następująco:

$$\frac{1}{f} = \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right)$$

gdzie:
f  – ogniskowa soczewki,
n  – współczynnik załamania materiału, z którego wykonano soczewkę,
r1  i  r2  – promienie krzywizny powierzchni załamujących soczewki.

Wielkością szukaną w zadaniu jest współczynnik załamania n  materiału soczewki, dla którego jej obydwa ogniska będą pokrywać się ze środkami krzywizny jej powierzchni załamujących. Odległość dzieląca środek soczewki od jej ogniska odpowiada długości ogniskowej f  soczewki, dlatego wspomniany wyżej warunek możemy zapisać jako: r1  = r2  = f . Uwzględniając tą zależność we wzorze szlifierzy soczewek, dostaniemy:

$$\frac{1}{f} = \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{1}{f} + \frac{1}{f} \right) = \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{f + f}{f^2} \right) = \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \frac{2}{f}$$

Po pomnożeniu obydwu stron powyższego równania przez f  oraz po pogrupowaniu wyrazów, otrzymamy:

$$1 = 2 \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) = 2 \hspace{.05cm} n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 2 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} 2 \hspace{.05cm} n = 3$$

W konsekwencji, szukana wartość współczynnika załamania n  materiału soczewki, wynosi:

$$n = 1,\hspace{-.1cm}5$$

Dodaj komentarz