Soczewka skupiająca i rozpraszająca – zadanie nr 14
Dla jakiej wartości współczynnika załamania n materiału symetrycznej dwuwypukłej soczewki umieszczonej w powietrzu, jej ogniska pokrywają się ze środkami krzywizny powierzchni załamujących soczewki?
Aby rozwiązać to zadanie skorzystamy ze wzoru szlifierzy soczewek, który dla dwuwypukłej soczewki umieszczonej w powietrzu przedstawia się następująco:
$$\frac{1}{f} = \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right)$$
gdzie:
f – ogniskowa soczewki,
n – współczynnik załamania materiału, z którego wykonano soczewkę,
r1 i r2 – promienie krzywizny powierzchni załamujących soczewki.
Wielkością szukaną w zadaniu jest współczynnik załamania n materiału soczewki, dla którego jej obydwa ogniska będą pokrywać się ze środkami krzywizny jej powierzchni załamujących. Odległość dzieląca środek soczewki od jej ogniska odpowiada długości ogniskowej f soczewki, dlatego wspomniany wyżej warunek możemy zapisać jako: r1 = r2 = f . Uwzględniając tą zależność we wzorze szlifierzy soczewek, dostaniemy:
$$\frac{1}{f} = \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{1}{f} + \frac{1}{f} \right) = \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{f + f}{f^2} \right) = \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \frac{2}{f}$$
Po pomnożeniu obydwu stron powyższego równania przez f oraz po pogrupowaniu wyrazów, otrzymamy:
$$1 = 2 \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) = 2 \hspace{.05cm} n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 2 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} 2 \hspace{.05cm} n = 3$$
W konsekwencji, szukana wartość współczynnika załamania n materiału soczewki, wynosi:
$$n = 1,\hspace{-.1cm}5$$
Dodaj komentarz