Przyrządy optyczne – zadanie nr 1

Gdy krótkowidz używa okularów o zdolności skupiającej Z  = – 2 D, widzi dobrze przedmioty z odległości 25 cm. Oblicz odległość dobrego widzenia tego krótkowidza.

Aby rozwiązać to zadanie musimy zapisać dwa równania: jedno odnoszące się do sytuacji, w której krótkowidz nie korzysta z okularów oraz drugie – gdy krótkowidz używa okularów. W obydwu tych przypadkach skorzystamy z równania soczewki.

W pierwszej sytuacji dostaniemy:

$$\frac{1}{d} + \frac{1}{a} = \frac{1}{f_{oka}}$$

gdzie:
d  – odległość dobrego widzenia krótkowidza bez użycia okularów równa granicznej odległości przedmiotu od oka krótkowidza, dla której przedmiot ten jest widziany jeszcze wyraźnie,
a  – odległość od soczewki oka do siatkówki, równa średnicy gałki ocznej,
f_oka  – ogniskowa soczewki oka.

W drugim przypadku, tj. gdy krótkowidz używa okularów, otrzymamy:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{a} = \frac{1}{f_{oka}} + \frac{1}{f_{okul}}$$

gdzie:
x  – odległość dobrego widzenia krótkowidza z użyciem okularów,
f_okul  – ogniskowa okularów.

Wielkością szukaną w zadaniu jest odległość dobrego widzenia krótkowidza nie korzystającego z okularów, którą oznaczyliśmy jako d. Aby ją wyznaczyć podstawimy wielkość 1/f_oka  równą 1/d  + 1/a  do drugiego równania. Dostaniemy:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{a} = \frac{1}{d} + \frac{1}{a} + \frac{1}{f_{okul}}$$

skąd po skróceniu otrzymamy:

$$\frac{1}{x} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f_{okul}} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \frac{1}{d} = \frac{1}{x} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{f_{okul}}$$

Ogniskowa okularów nie jest znana. Wiemy jednak, że ich zdolność skupiająca Z  = – 2 D, a ponieważ

$$Z = \frac{1}{f_{okul}}$$

dlatego:

$$\frac{1}{d} = \frac{1}{x} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} Z = \frac{1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} x \hspace{.05cm} Z}{x} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} d = \frac{x}{1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} x \hspace{.05cm} Z}$$

Po wstawieniu do powyższego równania wartości liczbowych podanych w treści zadania oraz wykonaniu obliczeń otrzymamy szukaną wartość d  równą:

$$d = \frac{0,\hspace{-.1cm}25 \hspace{.05cm} \textrm{m}}{1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 0,\hspace{-.1cm}25 \hspace{.05cm} \textrm{m} \cdot \left( \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 2 \hspace{.05cm} D \right)} = 0,\hspace{-.1cm}167 \hspace{.05cm} \textrm{m} = 16,\hspace{-.1cm}7 \hspace{.05cm} \textrm{cm}$$