Przyrządy optyczne – zadanie nr 2

Krótkowidz używa okularów o zdolności skupiającej Z  = – 8 D. Z jakiej odległości nie widzi wyraźnie przedmiotów? Czy stojąc w odległości 20 cm od przedmiotu będzie go widzieć wyraźnie?

Wielkością szukaną w zadaniu jest graniczna odległość x  dzieląca przedmiot od oka krótkowidza, przy której przedmiot ten widziany jest jeszcze wyraźnie. Aby obliczyć tą odległość zapiszemy dwa równania: jedno odpowiadające sytuacji, w której krótkowidz nie korzysta z okularów oraz drugie, gdy krótkowidz używa okularów. Korzystając z równania soczewki, w pierwszym przypadku dostaniemy:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{a} = \frac{1}{f_{oka}}$$

gdzie:
x  – szukana graniczna odległość przedmiotu od soczewki oka krótkowidza równa odległości dobrego widzenia krótkowidza bez użycia okularów,
a  – odległość od soczewki oka do siatkówki, równa średnicy gałki ocznej,
f_oka  – ogniskowa soczewki oka.

W drugim przypadku, tj. gdy krótkowidz używa okularów, otrzymamy:

$$\frac{1}{l} + \frac{1}{a} = \frac{1}{f_{oka}} + \frac{1}{f_{okul}}$$

gdzie:
l  – odległość dobrego widzenia krótkowidza z użyciem okularów,
f_okul  – ogniskowa okularów.

Podstawiając do powyższego równania w miejsce 1/f_oka  wielkość 1/x  + 1/a  występującą w pierwszym równaniu, uzyskamy:

$$\frac{1}{l} + \frac{1}{a} = \frac{1}{x} + \frac{1}{a} + \frac{1}{f_{okul}} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \frac{1}{l} = \frac{1}{x} + \frac{1}{f_{okul}}$$

Odległość l  oraz ogniskowa okularów f_okul  nie jest znana. Wiemy jednak, że zdolność skupiająca soczewki okularów wynosi Z  = – 8 D, a ponieważ

$$Z = \frac{1}{f_{okul}}$$

w związku z czym:

$$\frac{1}{l} = \frac{1}{x} + Z$$

Zakładając ponadto, że odległość l  odpowiada odległości dobrego widzenia przedmiotów położonych bardzo daleko od oka krótkowidza (l  = ∞), otrzymamy:

$$\frac{1}{\infty} = \frac{1}{x} + Z \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} 0 = \frac{1}{x} + Z \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \frac{1}{x} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} Z$$

Po odwróceniu stronami powyższego wzoru otrzymamy:

$$x = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{Z}$$

i w konsekwencji:

$$x = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 8 \hspace{.05cm} D} = \tfrac{1}{8} \hspace{.05cm} \textrm{m} = 12,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{cm}$$

Widzimy więc, że graniczna odległość x, z której krótkowidz widzi jeszcze wyraźnie przedmioty wynosi 12,5 cm. Oznacza to, że gdy przedmiot umieścimy w odległości 20 cm od jego oczu, krótkowidz nie będzie go widział wyraźnie.