Siła w ruchu harmonicznym – zadanie nr 2

Oscylator liniowy ma postać klocka umocowanego na sprężynie o stałej sprężystości k  = 600 N/m. W chwili t₁  położenie klocka, prędkość oraz przyspieszenie wynoszą odpowiednio: x  = 0,3 m, V  = – 15,7 m/s, a  = – 100 m/s². Oblicz masę klocka oraz amplitudę jego drgań.

Z treści zadania wynika, że układ klocek – sprężyna to liniowy oscylator harmoniczny, a więc częstość kołowa drgań ω  tego układu, stała sprężystości k  sprężyny oraz masa m  klocka są ze sobą związane poniższą zależnością:

$$k = m \hspace{.05cm} \omega^2$$

Przekształcenie powyższego wyrażenia względem m  pozwoli nam obliczyć masę klocka:

$$m = \frac{k}{\omega^2}$$

Wartość częstości kołowej ω  nie jest wprawdzie znana, jednak możemy ją z łatwością obliczyć. Znamy przemieszczenie oraz przyspieszenie klocka dla czasu t₁, zatem korzystając z faktu, że te dwie wielkości fizyczne są ze sobą związane poniższą relacją:

$$a (t) = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \omega^2 \hspace{.05cm} x (t)$$

uzyskamy wyrażenie na częstość kołową drgań ω  klocka:

$$\omega^2 = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{a (t_1)}{x (t_1)}$$

Po wstawieniu powyższej zależności do wzoru na masę m  klocka, dostaniemy:

$$m = \frac{k}{\omega^2} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} k \hspace{.1cm} \frac{x (t_1)}{a (t_1)} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 600 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{N}}{\textrm{m}} \cdot \frac{0,\hspace{-.1cm}3 \hspace{.05cm} \textrm{m}}{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 100 \hspace{.05cm} \textrm{m}} = 1,\hspace{-.1cm}8 \hspace{.05cm} \textrm{kg}$$

Zwróć uwagę, że pomimo znaku minus stojącego po prawej stronie znaku równości, zawsze otrzymamy dodatnią wartość masy (co świadczy o poprawności wyprowadzonego wzoru), ponieważ przemieszczenie x  ciała w ruchu harmonicznym jest proporcjonalne ze znakiem minus do jego przyspieszenia a.

Aby wyznaczyć amplitudę A  drgań układu klocek – sprężyna skorzystamy z wyrażenia opisującego całkowitą energię mechaniczną ciała drgającego ruchem harmonicznym:

$$E = E_p + E_k \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \frac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2 = \frac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} x^2 + \frac{1}{2} \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} V^2$$

Podstawiając w miejsce x  oraz V  przemieszczenie i prędkość klocka w chwili t₁, a w miejsce m  uzyskaną wyżej zależność, dostaniemy:

$$\frac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2 = \frac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} x^2 \hspace{.05cm} (t_1) + \frac{1}{2} \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} V^2 \hspace{.05cm} (t_1)$$

skąd po skróceniu i przekształceniu względem A , otrzymamy:

$$A = \sqrt{x^2 \hspace{.05cm} (t_1) + V^2 \hspace{.05cm} (t_1) \cdot \frac{m}{k}} = \sqrt{x^2 \hspace{.05cm} (t_1) + \frac{V^2 \hspace{.05cm} (t_1)}{\omega^2}} = \sqrt{x^2 \hspace{.05cm} (t_1) + \frac{V^2 \hspace{.05cm} (t_1) \cdot x \hspace{.05cm} (t_1)}{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} a (t_1)}}$$

Po podstawieniu do powyższego wzoru wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń, dostaniemy wartość amplitudy drgań klocka równą:

$$ A = \sqrt{\left( 0,\hspace{-.1cm}3 \hspace{.05cm} \textrm{m} \right)^2 + \frac{\left( 15,\hspace{-.1cm}7 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}} \right)^2 \cdot 0,\hspace{-.1cm}3 \hspace{.05cm} \textrm{m} }{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \left(\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 100 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2} \right)}} = 0,\hspace{-.1cm}9 \hspace{.05cm} \textrm{m}$$