Siła Lorentza – zadanie nr 9

Cząstka o ładunku q  = 5 μC i masie m  = 2 ⋅ 10^-22 kg wpada z prędkością V  = 2 ⋅ 10⁵ m/s w pole magnetyczne o indukcji B  = 10 T, prostopadle do wektora indukcji $\vec{B}$. Oblicz promień r  okręgu, po którym będzie poruszać się cząstka.

Na każdą cząstkę naładowaną elektrycznie, poruszającą się w zewnętrznym polu magnetycznym o indukcji B, działa siła Lorentza o wartości:

$$F_B = |q| \hspace{.05cm} V \hspace{.03cm} B \hspace{.15cm} \textrm{sin} \hspace{.05cm} \varphi$$

gdzie:
q  – ładunek cząstki,
V  – prędkość cząstki,
B  – indukcja pola magnetycznego,
φ  – kąt zawarty pomiędzy wektorem prędkości $\vec{V}$ a wektorem indukcji $\vec{B}$.

Z treści zadania wynika, że cząstka wpada w pole magnetyczne prostopadle do wektora indukcji $\vec{B}$, w związku z czym kąt φ  zawarty pomiędzy wektorami $\vec{V}$  i  $\vec{B}$ wynosi 90^o. Ponieważ sin(90^o) = 1, dlatego powyższy wzór możemy zapisać jako:

$$F_B = |q| \hspace{.05cm} V \hspace{.03cm} B \hspace{.15cm} \textrm{sin} \hspace{.05cm} 90^{\textrm{o}} = |q| \hspace{.05cm} V \hspace{.03cm} B$$

Gdy $\vec{V} \perp \vec{B}$  ruch cząstki w polu magnetycznym odbywa się po okręgu o promieniu r, z przyspieszeniem $\vec{a}$ skierowanym do środka okręgu. Przyspieszenie to odpowiada przyspieszeniu dośrodkowemu równemu V ²/r. Zapisując dla tego przypadku drugą zasadę dynamiki Newtona, dostaniemy:

$$F_B = m \hspace{.05cm} a \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} |q| \hspace{.05cm} V \hspace{.03cm} B = m \hspace{.05cm} \frac{V^2}{r}$$

Po skróceniu V  oraz przekształceniu powyższego równania względem promienia r  okręgu, otrzymamy:

$$|q| \hspace{.03cm} B = m \hspace{.05cm} \frac{V}{r} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} r = \frac{m \hspace{.05cm} V}{|q| \hspace{.03cm} B}$$

i w konsekwencji szukaną wartość promienia r, równą:

$$r = \frac{2 \cdot 10^{-22} \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot 2 \cdot 10^5 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}}}{|5 \cdot 10^{-6} \hspace{.05cm} \textrm{C}| \cdot 10 \hspace{.05cm} \textrm{T}} = 8 \cdot 10^{-13} \hspace{.05cm} \textrm{m}$$