Gęstość płynów – zadanie nr 3

Ryby sterują głębokością swojego zanurzenia w wodzie, zmieniając zawartość powietrza w pęcherzach pławnych, tak aby ich średnia gęstość była równa gęstości wody na danej głębokości. Przyjmij, że gdy całe powietrze jest usunięte z pęcherzy pławnych, ryba ma średnią gęstość równą 1,08 g/cm³. Oblicz, jaką część całkowitej objętości ryby musi stanowić powietrze w pęcherzach pławnych, aby jej gęstość zmniejszyła się do wartości odpowiadającej zwykłej gęstości wody (1,00 g/cm³). Gęstość powietrza jest znana i wynosi 0,00121 g/cm³.

Obliczenie objętości powietrza wypełniającego pęcherze pławne ryby będzie wymagało wprowadzenia kilku oznaczeń: ρ_R1  i V_R1  to odpowiednio średnia gęstość oraz objętość ryby po całkowitym usunięciu powietrza z jej pęcherzy pławnych a ρ_R2  i V_R2  to odpowiednio średnia gęstość oraz objętość ryby, której pęcherze pławne wypełnia powietrze.

Wymienione powyżej wielkości powiążemy ze sobą korzystając z wyrażenia definiującego gęstość płynów:

$$\rho = \frac{m}{V}$$

które dla obydwu przypadków opisanych w treści zadania przyjmie następującą postać:

$$\rho_{R1} = \frac{m_{R1}}{V_{R1}} \hspace{1cm} , \hspace{1cm} \rho_{R2} = \frac{m_{R2}}{V_{R2}}$$

gdzie $m_{R2} = m_{R1} + m_p$  oraz  $V_{R2} = V_{R1} + V_p$ (m_p  i V_p  to odpowiednio masa oraz objętość powietrza wypełniająca pęcherze pławne ryby).

Podstawiając do wzoru na ρ_R2  podane wyżej wyrażenia na m_R2  oraz V_R2 , dostaniemy:

$$\rho_{R2} = \frac{m_{R2}}{V_{R2}} = \frac{m_{R1} + m_p}{V_{R1} + V_p}$$

Masa ryby oraz masa powietrza nie są znane. Możemy je jednak wyrazić jako iloczyn gęstości oraz objętości:

$$\rho_{R2} = \frac{V_{R1} \hspace{.05cm} \rho_{R1} + V_p \hspace{.05cm} \rho_p}{V_{R1} + V_p}$$

Po przemnożeniu oraz zamianie stronami powyższego wyrażenia, uzyskamy wzór, dzięki któremu będziemy mogli obliczyć objętość powietrza V_p  w pęcherzach pławnych ryby:

$$V_p = \frac{V_{R1} \cdot \left(\rho_{R1} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \rho_{R2} \right)}{\rho_{R2} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \rho_p}$$

Znając wartość V_p  możemy już obliczyć jaką część objętości ryby musi stanowić powietrze w jej pęcherzach pławnych, aby średnia gęstość ryby była równa gęstości wody:

$$\frac{V_p}{V_{R1} + V_p} = \frac{\rho_{R1} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \rho_{R2}}{\rho_{R1} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \rho_p} = \frac{1,\hspace{-.1cm}08 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{g}}{\textrm{cm}^3} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1,\hspace{-.1cm}00 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{g}}{\textrm{cm}^3}}{1,\hspace{-.1cm}08 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{g}}{\textrm{cm}^3} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 0,\hspace{-.1cm}00121 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{g}}{\textrm{cm}^3}} = 0,\hspace{-.1cm}074$$