Bilans cieplny – zadanie nr 13

Oblicz jaką masę lodu m₁ o temperaturze T₁ = 0 ^oC stopi skroplenie na bryle lodu pary wodnej o masie m₂ = 1,8 kg i temperaturze T₂ = 100 ^oC. Ciepło właściwe wody c_w  = 4186 J/(kg ∙ ^oC), ciepło parowania c_par  = 2260 kJ/kg, ciepło topnienia c_top  = 333 kJ/kg.

Ciepło potrzebne do stopienia bryły lodu o masie m₁ wyraża poniższy wzór (zobacz: Bilans cieplny – zadanie nr 7):

$$Q = m_1 \hspace{.05cm} c_{top}$$

gdzie c_top  to ciepło topnienia.

Aby dowiedzieć się jaką masę lodu m₁ stopi skroplenie nad nim pary wodnej o masie m₂ i temperaturze T₂ należy po pierwsze obliczyć ilość ciepła jaka wydzieli się podczas całkowitego skroplenia pary wodnej. Po drugie musimy dowiedzieć się ile energii będzie zużyte na oziębienie wody, powstałej wskutek skroplenia pary, od temperatury T₂ do temperatury topnienia lodu równej 0 ^oC. Przejdźmy więc teraz do zapisania odpowiednich wzorów.

Ciepło oddane bryle lodu podczas skroplenia pary wodnej wyniesie:

$$Q_1 = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m_2 \hspace{.05cm} c_{par}$$

gdzie:
m₂ – masa pary wodnej,
c_par  – ciepło parowania (znak minus oznacza, że ciepło to zostanie oddane przez parę wodną).

Ciepło uwolnione podczas oziębienia wody z T₂ = 100 ^oC do T₁ = 0 ^oC będzie równe:

$$Q_2 = m_2 \hspace{.1cm} c_w \hspace{.1cm} \Delta T = m_2 \hspace{.1cm} c_w \left(T_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2 \right)$$

gdzie c_w  to ciepło właściwe wody.

Dodanie do siebie tych dwóch energii, wyrażonych w formie ciepła, pozwoli nam dowiedzieć się jaka ilość ciepła wydzieli się podczas skroplenia pary wodnej i oziębienia powstałej w ten sposób wody:

$$Q_c = Q_1 + Q_2 = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} m_2 \hspace{.05cm} c_{par} + m_2 \hspace{.1cm} c_w \left(T_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2 \right)$$

Po podstawieniu wartości liczbowych do powyższego wzoru oraz wykonaniu obliczeń dostaniemy:

$$Q_c = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1,\hspace{-.1cm}8 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot 2260000 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{J}}{\textrm{kg}} + 1,\hspace{-.1cm}8 \hspace{.05cm} \textrm{kg} \cdot 4186 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{J}}{\textrm{kg} \cdot \hspace{.03cm} ^\textrm{o} \textrm{C}} \cdot \left( 0 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 100 \hspace{.05cm} ^\textrm{o} \textrm{C} \right) = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 4822 \hspace{.05cm} \textrm{kJ}$$

Znak minus oznacza, że ciepło zostanie oddane do otoczenia. Znając wartość Q_c  możemy obliczyć jaka ilość lodu o temperaturze 0 ^oC ulegnie stopieniu:

$$Q = m_1 \hspace{.05cm} c_{top} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} m_1 = \frac{Q_c}{c_{top}} = \frac{4822 \hspace{.05cm} \textrm{kJ}}{333 \hspace{.05cm} \frac{\textrm{kJ}}{\textrm{kg}}} = 14,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{kg}$$