Zwierciadło płaskie, wklęsłe i wypukłe – zadanie nr 8

Znajdź promień krzywizny r  zwierciadła sferycznego wklęsłego, jeżeli dla przedmiotu znajdującego się w odległości x  = 0,2 m od zwierciadła otrzymujemy obraz rzeczywisty, odwrócony, trzykrotnie powiększony.

Promień krzywizny r  zwierciadła wklęsłego wyznaczymy korzystając z równania zwierciadła sferycznego:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{f}$$

gdzie:
x  – odległość przedmiotu od środka zwierciadła,
y  – odległość obrazu od środka zwierciadła,
f  – ogniskowa zwierciadła.

Podstawiając w miejsce ogniskowej f  wyrażenie wiążące ogniskową z promieniem krzywizny r  zwierciadła:

$$f = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} r$$

dostaniemy:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{\tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} r}$$

Odległość x  podano w treści zadania. Odległość y  powiążemy ze znaną wartością powiększenia liniowego p  zwierciadła równą:

$$p = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{y}{x} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 3$$

Znak minus stojący przed wartością liczbową oznacza, że obraz przedmiotu jest obrazem odwróconym (zobacz warunki zadania).

Przekształcając powyższą zależność względem odległości y :

$$y = 3 \hspace{.05cm} x$$

oraz wstawiając następnie otrzymane wyrażenie do równania zwierciadła sferycznego uzyskamy:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{3 \hspace{.05cm} x} = \frac{1}{\tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} r} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \frac{3 \hspace{.05cm} x + x}{3 \hspace{.05cm} x^2} = \frac{4}{3 \hspace{.05cm} x} = \frac{2}{r}$$

Szukana wartość promienia krzywizny r  wynosi:

$$r = \tfrac{3}{2} \hspace{.05cm} x = \tfrac{3}{2} \cdot 0,\hspace{-.1cm}2 \hspace{.05cm} \textrm{m} = 0,\hspace{-.1cm}3 \hspace{.05cm} \textrm{m}$$