Zwierciadło płaskie, wklęsłe i wypukłe – zadanie nr 7

Przed zwierciadłem sferycznym wypukłym o promieniu krzywizny r  umieszczono przedmiot w odległości 2 r  od środka zwierciadła, otrzymując obraz. Oblicz w jakiej odległości od zwierciadła i jaki obraz uzyskano.

Aby obliczyć odległość obrazu od środka zwierciadła wypukłego skorzystamy z równania zwierciadła sferycznego:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{f}$$

gdzie:
x  – odległość przedmiotu od środka zwierciadła,
y  – odległość obrazu od środka zwierciadła,
f  – ogniskowa zwierciadła.

Wartości x  oraz f  nie są podane w treści zadania. Wiemy jednak, że przedmiot umieszczono w odległości 2 r  od środka zwierciadła, dlatego x  = 2 r , gdzie r  jest promieniem krzywizny zwierciadła. Zależność pomiędzy promieniem krzywizny a ogniskową f  zwierciadła opisuje poniższe wyrażenie:

$$f = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} r$$

Ponieważ obraz dowolnego przedmiotu wytwarzany przez zwierciadło wypukłe jest zawsze obrazem pozornym, dlatego promień krzywizny r  w powyższym wzorze musi przyjmować ujemną wartość:

$$f = \hspace{.1cm} – \hspace{.05cm} \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} r$$

Korzystając z powyższych informacji możemy zapisać równanie zwierciadła sferycznego w następującej postaci:

$$\frac{1}{2 \hspace{.05cm} r} + \frac{1}{y} = \frac{1}{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} r}$$

Po przekształceniu powyższej relacji względem wielkości 1/y  dostaniemy:

$$\frac{1}{y} = \frac{1}{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} r} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{2 \hspace{.05cm} r} = \frac{2 \hspace{.05cm} r + \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} r}{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} r \cdot 2 \hspace{.05cm} r} = \hspace{.05cm} – \hspace{.05cm} \frac{5}{2 \hspace{.05cm} r}$$

i w konsekwencji:

$$\frac{1}{y} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{5}{2 \hspace{.05cm} r} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} y = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \tfrac{2}{5} \hspace{.05cm} r$$

Znak minus stojący przed wielkością 2/5 r  informuje nas, że obraz przedmiotu znajduje się po przeciwnej stronie zwierciadła, niż przedmiot (obraz pozorny).

Aby określić czy obraz przedmiotu jest obrazem prostym, czy odwróconym, powiększonym, czy pomniejszonym podstawmy wartość x  oraz y  do wzoru na powiększenie liniowe p  zwierciadła oraz wykonajmy obliczenia:

$$p = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{y}{x} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \tfrac{2}{5} \hspace{.05cm} r}{2 \hspace{.05cm} r} = \frac{1}{5}$$

Powyższy wynik oznacza, że obraz przedmiotu jest obrazem prostym (dodatnia wartość powiększenia), pięciokrotnie pomniejszonym.