Zwierciadło płaskie, wklęsłe i wypukłe – zadanie nr 9

Na osi głównej wewnątrz zwierciadlanej kuli umieszczono przedmiot w takim miejscu, że jego obraz został utworzony na ścianie kuli. Oblicz powiększenie obrazu, jakie otrzymano.

Powiększenie p  obrazu obliczymy korzystając z poniższego wzoru opisującego powiększenie liniowe zwierciadła sferycznego:

$$p = \hspace{.1cm} – \hspace{.05cm} \frac{y}{x}$$

gdzie:
y  – odległość obrazu od środka zwierciadła,
x  – odległość przedmiotu od środka zwierciadła.

Zarówno wartość x,  jak i y  nie jest podana w treści zadania. Wiemy jednak, że obraz przedmiotu znajduje się na jednej ze ścian wewnątrz zwierciadlanej kuli, której powierzchnie odbijające promienie świetlne możemy traktować jak zwierciadła sferyczne wklęsłe. W związku z powyższym odległość obrazu przedmiotu od środka zwierciadła odpowiada średnicy kuli, a więc wynosi y  = 2 r, gdzie r  jest promieniem krzywizny kuli.

Odległość przedmiotu od środka zwierciadła wyznaczymy z kolei z równania zwierciadła sferycznego:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{f}$$

Ponieważ ogniskowa f  zwierciadła sferycznego związana jest z jego promieniem krzywizny poniższym wyrażeniem:

$$f = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} r$$

dlatego wstawiając tą zależność do równania zwierciadła dostaniemy:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{2 \hspace{.05cm} r} = \frac{1}{\tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} r} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \frac{1}{x} = \frac{1}{\tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} r} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{2 \hspace{.05cm} r} = \frac{2 \hspace{.05cm} r \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} r}{\tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} r \cdot 2 \hspace{.05cm} r} = \frac{3}{2 \hspace{.05cm} r}$$

Po odwróceniu stronami powyższej zależności otrzymamy szukane wyrażenie na x  równe:

$$x = \tfrac{2}{3} \hspace{.05cm} r$$

Znając wartość x  oraz y  możemy obliczyć powiększenie p  obrazu:

$$p = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{y}{x} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{2 \hspace{.05cm} \textrm{r}}{\tfrac{2}{3} \hspace{.05cm} \textrm{r}} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 3$$

Wynik, który otrzymaliśmy oznacza, że obraz jest trzykrotnie powiększony. Znak minus informuje nas z kolei, że obraz przedmiotu jest obrazem odwróconym.