Zwierciadło płaskie, wklęsłe i wypukłe – zadanie nr 5

W którym punkcie głównym osi optycznej zwierciadła sferycznego wklęsłego o ogniskowej f  = 10 cm należy umieścić przedmiot, aby otrzymać obraz prosty, pozorny, dwukrotnie powiększony? Wynik obliczeń sprawdź na rysunku.

Wielkością szukaną w zadaniu jest odległość x  dzieląca przedmiot od środka zwierciadła, dla której obraz przedmiotu jest obrazem pozornym, prostym oraz podwójnie powiększonym. Zgodnie z teorią obraz pozorny dowolnego przedmiotu, wytwarzany przez zwierciadło sferyczne wklęsłe, możemy otrzymać tylko wtedy, gdy x  < f . Takiego właśnie wyniku spodziewamy się w tym zadaniu.

Aby wyznaczyć odległość x  przedmiotu skorzystamy z równania zwierciadła sferycznego:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{f}$$

gdzie:
y  – odległość dzieląca obraz przedmiotu od środka zwierciadła,
f  – ogniskowa zwierciadła.

Wartość ogniskowej f  znamy. Odległość y  powiążemy z powiększeniem liniowym p  zwierciadła. Wiemy, że obraz przedmiotu jest dwukrotnie powiększony, dlatego:

$$p = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{y}{x} = 2$$

Obraz przedmiotu jest obrazem prostym (ma taką samą orientację co przedmiot), dlatego też powiększenie liniowe p  zwierciadła przyjmuje wartość dodatnią.

Po przekształceniu powyższego wzoru względem odległości y, dostaniemy:

$$\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{y}{x} = 2 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} y = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 2 \hspace{.05cm} x$$

Wstawiając otrzymane wyrażenie do równania zwierciadła sferycznego uzyskamy:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{f} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \frac{1}{x} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{2 \hspace{.05cm} x} = \frac{1}{2 \hspace{.05cm} x} = \frac{1}{f}$$

i w konsekwencji szukaną wartość x  równą:

$$\frac{1}{2 \hspace{.05cm} x} = \frac{1}{f} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} x = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} f = \tfrac{1}{2} \cdot 10 \hspace{.05cm} \textrm{cm} = 5 \hspace{.05cm} \textrm{cm}$$

Zwróć uwagę, że zgodnie z oczekiwaniami, odległość x  jest mniejsza od ogniskowej f  zwierciadła, świadcząc tym samym o poprawności otrzymanego wyniku. Dodatkowe potwierdzenie stanowi poniższy rysunek: