Zwierciadło płaskie, wklęsłe i wypukłe – zadanie nr 3

Odległość pomiędzy przedmiotem a obrazem wytworzonym przez zwierciadło sferyczne wklęsłe wynosi 50 cm. Wiedząc, że uzyskany obraz jest obrazem rzeczywistym, odwróconym oraz trzykrotnie powiększonym, oblicz ogniskową tego zwierciadła.

Rodzaj, położenie oraz orientacja obrazu przedmiotu wytwarzanego przez zwierciadło sferyczne wklęsłe zależy od położenia tego przedmiotu względem środka oraz ogniskowej f  zwierciadła. Jak wynika z treści zadania obraz przedmiotu jest obrazem rzeczywistym, odwróconym oraz trzykrotnie powiększonym, w związku z czym przedmiot ten musi znajdować się w niedużej odległości za ogniskową f  zwierciadła (wraz ze wzrostem odległości pomiędzy przedmiotem a ogniskową, obraz „przesuwa się” w stronę środka zwierciadła, stając się obrazem rzeczywistym, odwróconym oraz pomniejszonym).

Aby obliczyć długość ogniskowej f  zwierciadła skorzystamy z równania zwierciadła sferycznego:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{f}$$

gdzie:
x  – odległość przedmiotu od środka zwierciadła,
y  – odległość obrazu od środka zwierciadła.

Wartości x  i y  nie są podane w treści zadania. Możemy je jednak powiązać z powiększeniem liniowym p  zwierciadła. Wiemy, że obraz przedmiotu jest trzykrotnie powiększony, dlatego:

$$p = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{y}{x} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 3$$

Znak minus stojący przed wartością liczbową oznacza, że obraz przedmiotu jest obrazem odwróconym (czyli tak jak w naszym przypadku).

Oprócz tego wiemy także, że odległość pomiędzy obrazem a przedmiotem wynosi 0,5 m, zatem:

$$y \hspace{.15cm} – \hspace{.1cm} x = 0,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{m} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} y = x + 0,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{m}$$

Po wstawieniu powyższej relacji do wzoru na powiększenie p  zwierciadła dostaniemy:

$$\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{y}{x} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{x + 0,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{m}}{x} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 3$$

Mnożąc obydwie strony powyższego równania przez x  oraz przekształcając je następnie stronami, otrzymamy:

$$\hspace{.1cm} – \hspace{.05cm} x \hspace{.1cm} – \hspace{.05cm} 0,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{m} = \hspace{.1cm} – \hspace{.05cm} 3 \hspace{.05cm} x \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} 2 \hspace{.05cm} x = 0,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{m}$$

i w konsekwencji wartość x  równą:

$$x = 0,\hspace{-.1cm}25 \hspace{.05cm} \textrm{m}$$

Znając wartość x  możemy przystąpić do obliczenia odległości obrazu od środka zwierciadła:

$$y = x + 0,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{m} = 0,\hspace{-.1cm}25 \hspace{.05cm} \textrm{m} + 0,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{m} = 0,\hspace{-.1cm}75 \hspace{.05cm} \textrm{m}$$

Ogniskowa f  zwierciadła wynosi w związku z powyższym:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{0,\hspace{-.1cm}25 \hspace{.05cm} \textrm{m}} + \frac{1}{ 0,\hspace{-.1cm}75 \hspace{.05cm} \textrm{m}} = \frac{0,\hspace{-.1cm}75 \hspace{.05cm} \textrm{m} + 0,\hspace{-.1cm}25 \hspace{.05cm} \textrm{m}}{0,\hspace{-.1cm}1875 \hspace{.05cm} \textrm{m}^2} = \frac{1 \hspace{.05cm} \textrm{m}}{0,\hspace{-.1cm}1875 \hspace{.05cm} \textrm{m}^2} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} f \approx 0,\hspace{-.1cm}19 \hspace{.05cm} \textrm{m}$$

Zauważ, że długość ogniskowej jest niewiele mniejsza od odległości przedmiotu od środka zwierciadła, co pozostaje w zgodzie z naszymi oczekiwaniami.