Zwierciadło płaskie, wklęsłe i wypukłe – zadanie nr 12

Za pomocą zwierciadła sferycznego wypukłego o promieniu krzywizny r  = 10 cm otrzymano obraz prosty przedmiotu czterokrotnie mniejszy, niż przedmiot. W jakiej odległości od zwierciadła stał przedmiot? Ile wynosiła odległość obrazu?

Aby obliczyć odległość przedmiotu oraz odległość obrazu od środka zwierciadła wypukłego skorzystamy z równania zwierciadła sferycznego:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{f}$$

gdzie:
x  – odległość przedmiotu od środka zwierciadła,
y  – odległość obrazu od środka zwierciadła,
f  – ogniskowa zwierciadła.

Wielkościami, które znamy są promień krzywizny r  zwierciadła oraz powiększenie p  obrazu. Ogniskowa f  zwierciadła sferycznego wypukłego zawsze przyjmuje ujemną wartość, w związku z czym wyrażenie opisujące związek pomiędzy f  a r  dla tego rodzaju zwierciadła przyjmuje poniższą postać:

$$f = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} r$$

Pomiędzy odległościami x  i y  oraz powiększeniem p  zachodzi z kolei następująca relacja:

$$p = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{y}{x} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} y = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p \hspace{.05cm} x$$

Korzystając z dwóch powyższych wyrażeń możemy zapisać równanie zwierciadła jako:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p \hspace{.05cm} x} = \frac{1}{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} r} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{2}{r}$$

skąd dostaniemy:

$$\frac{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p \hspace{.05cm} x + x}{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p \hspace{.05cm} x^2} = \frac{x \left( 1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p \right)}{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p \hspace{.05cm} x^2} = \frac{ 1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p}{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p \hspace{.05cm} x} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{2}{r}$$

Po przekształceniu powyższego wzoru względem odległości x  otrzymamy:

$$x = \frac{r \left( 1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p \right)}{2 \hspace{.05cm} p}$$

i w efekcie:

$$x = \frac{10 \hspace{.05cm} \textrm{cm} \cdot \left( 1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \tfrac{1}{4} \right)}{2 \cdot \tfrac{1}{4}} = 15 \hspace{.05cm} \textrm{cm}$$

Znając odległość x  możemy, korzystając z podanego wcześniej wzoru: y  = – p x , obliczyć odległość obrazu y. Po wstawieniu wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń uzyskamy:

$$y = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p \hspace{.05cm} x = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \tfrac{1}{4} \cdot 15 \hspace{.05cm} \textrm{cm} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 3,\hspace{-.1cm}75 \hspace{.05cm} \textrm{cm}$$