Zwierciadło płaskie, wklęsłe i wypukłe – zadanie nr 11

Ile wynosi promień krzywizny zwierciadła sferycznego wklęsłego, jeżeli dla przedmiotu o wysokości h  = 4 cm znajdującego się w odległości x  = 15 cm od środka zwierciadła otrzymujemy obraz rzeczywisty o powiększeniu p  = – 2? Jaka jest wysokość h’  tego obrazu?

Promień krzywizny r  zwierciadła sferycznego obliczymy stosując poniższe wyrażenie:

$$f = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} r \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} r = 2 \hspace{.05cm} f$$

gdzie f  to ogniskowa zwierciadła.

Długość ogniskowej f  nie jest podana w treści zadania, jednak możemy ją z łatwością obliczyć korzystając z równania zwierciadła sferycznego:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{f}$$

gdzie:
x  – odległość przedmiotu od środka zwierciadła,
y  – odległość obrazu przedmiotu od środka zwierciadła,
f  – ogniskowa zwierciadła.

Odległość x  znamy. Nieznaną odległość y  powiążemy z powiększeniem p  zwierciadła sferycznego równym:

$$p = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{y}{x}$$

skąd:

$$y = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p \hspace{.05cm} x$$

Podstawiając powyższą zależność do równania zwierciadła otrzymamy:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p \hspace{.05cm} x} = \frac{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p \hspace{.05cm} x + x}{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p \hspace{.05cm} x^2} = \frac{x \left(1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p \right)}{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p \hspace{.05cm} x^2} = \frac{1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p}{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p \hspace{.05cm} x} = \frac{1}{f}$$

Po odwróceniu stronami dostaniemy wyrażenie na ogniskową f  zwierciadła:

$$f = \frac{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p \hspace{.05cm} x}{1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p}$$

Po podstawieniu tego wyrażenia do wzoru na promień krzywizny r  zwierciadła sferycznego otrzymamy:

$$r = 2 \hspace{.05cm} f = 2 \cdot \left( \frac{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p \hspace{.05cm} x}{1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} p} \right)$$

i w konsekwencji szukaną wartość r  równą:

$$r = 2 \cdot \left( \frac{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \left( \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 2 \right) \cdot 15 \hspace{.05cm} \textrm{cm}}{1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \left( \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 2 \right) } \right) = 2 \cdot \frac{30 \hspace{.05cm} \textrm{cm}}{3} = 20 \hspace{.05cm} \textrm{cm}$$

Aby obliczyć wysokość h’  obrazu przedmiotu wytworzonego przez to zwierciadło skorzystamy ze wzoru na powiększenie p  zwierciadła wiążącego wysokość h’  obrazu przedmiotu z wysokością h  przedmiotu:

$$|p| = \frac{h’}{h}$$

Po przekształceniu powyższego wyrażenia względem szukanej wysokości h’  oraz po podstawieniu wartości liczbowych i wykonaniu obliczeń dostaniemy:

$$h’ = |p| \hspace{.05cm} h = |\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 2| \cdot 4 \hspace{.05cm} \textrm{cm} = 8 \hspace{.05cm} \textrm{cm}$$