Szeregowe i równoległe łączenie kondensatorów

Układ kondensatorów połączonych szeregowo albo równolegle można znacznie uprościć poprzez zastąpienie go jednym, równoważnym kondensatorem o pojemności zastępczej C_Z . W tym artykule zajmiemy się opisem i wyprowadzeniem wzorów pozwalających obliczyć pojemność zastępczą kondensatorów połączonych w sposób szeregowy oraz równoległy.

Szeregowe połączenie kondensatorów

Rysunek 1 przedstawia prosty obwód elektryczny składający się ze źródła prądu oraz z trzech kondensatorów o pojemnościach C₁, C₂  i C₃  połączonych szeregowo. Zadaniem źródła jest utrzymywanie stałej różnicy potencjałów U  w obwodzie.

W szeregowym sposobie łączenia kondensatorów wszystkie kondensatory łączone są ze sobą w szereg, jeden za drugim: ujemnie naładowana okładka kondensatora C₁ łączy się z dodatnio naładowaną okładką kondensatora C₂, z kolei ujemnie naładowana okładka kondensatora C₂ łączy się z dodatnio naładowaną okładką kondensatora C₃. Zwróć uwagę, że zgodnie z powyższym rysunkiem różnica potencjałów U  przyłożona jest tylko do obydwu końców układu kondensatorów: biegun dodatni źródła połączony jest z dodatnio naładowaną okładką kondensatora C₁, a biegun ujemny – z ujemnie naładowaną okładką kondensatora C₃.

Źródło prądu podłączone do kondensatorów połączonych szeregowo wytwarza ładunki tylko i wyłącznie na tych okładkach kondensatorów, które są bezpośrednio połączone z biegunami źródła. Ładunki elektryczne na pozostałych okładkach pojawiają się wskutek przemieszczania się ładunków już istniejących (przemieszczaniu ulegają ładunki zgromadzone na okładkach kondensatorów połączonych z biegunami źródła). Zgodnie z rysunkiem 1 źródło prądu nie może zmienić ładunku na kondensatorze C₂ (brak bezpośredniego połączenia ze źródłem) – ładunek na okładkach tego kondensatora pojawia się jako efekt przesuwania się ładunku z okładek kondensatora C₃.

Aby uprościć układ kondensatorów przedstawionych na rysunku 1 możemy zastąpić je równoważnym im kondensatorem o pojemności C_Z . Kondensator C_Z  posiada jednakowy ładunek oraz jednakową różnicę potencjałów, jak układ szeregowo połączonych kondensatorów.

Nadszedł więc czas, aby wyprowadzić ogólne wyrażenie pozwalające obliczać pojemność zastępczą układu kondensatorów połączonych w sposób szeregowy. Na początek zapiszmy wyrażenia opisujące różnicę potencjałów na każdym z trzech kondensatorów z rysunku 1. Korzystając ze wzoru q  = C U  (zobacz: Kondensatory – opis, budowa. Pojemność elektryczna) i przekształcając je względem U,  mamy:

$$U_1 = \dfrac{q}{C_1} \hspace{1cm} , \hspace{1cm} U_2 = \dfrac{q}{C_2} \hspace{1cm} , \hspace{1cm} U_3 = \dfrac{q}{C_3}$$

(zgodnie z tym co napisaliśmy wyżej, ładunek zgromadzony na każdym kondensatorze przyjmuje jednakową wartość)

Wiemy, że całkowita różnica potencjałów wytwarzana przez źródło jest sumą różnic potencjałów na wszystkich kondensatorach połączonych szeregowo, dlatego:

$$U = U_1 + U_2 + U_3 = \dfrac{q}{C_1} + \dfrac{q}{C_2} + \dfrac{q}{C_3} = q \left( \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} + \dfrac{1}{C_3} \right)$$

Różnica potencjałów na kondensatorze C_Z  wynosi:

$$U = \dfrac{q}{C_Z}$$

Porównując stronami wyrażenia na U,  mamy:

$$\dfrac{q}{C_Z} = q \left( \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} + \dfrac{1}{C_3} \right)$$

Pojemność zastępcza kondensatorów połączonych szeregowo – wzór

Po skróceniu stronami powyższej zależności, dostaniemy:

$$\dfrac{1}{C_Z} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} + \dfrac{1}{C_3}$$

W ogólności, w przypadku n  kondensatorów połączonych szeregowo pojemność zastępczą C_Z możemy obliczyć stosując poniższe wyrażenie:

$$\dfrac{1}{C_Z} = \sum\limits_{i=1}^n \dfrac{1}{C_i} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} + … + \dfrac{1}{C_n}$$

gdzie C_i  to pojemność i-tego kondensatora w obwodzie.

Równoległe połączenie kondensatorów

Podobnie jak w przypadku szeregowego układu kondensatorów, zacznijmy od narysowania obwodu elektrycznego składającego się ze źródła prądu oraz układu kondensatorów o pojemnościach C₁, C₂  i C₃ , tym razem, połączonych równolegle:

Równoległy sposób łączenia kondensatorów to taki, w którym zarówno jedne, jak i drugie okładki kondensatorów łączone są bezpośrednio ze sobą za pomocą wspólnych przewodów. Ponieważ, różnica potencjałów U  przykładana jest właśnie do tych dwóch (połączonych przewodami) okładek, dlatego też:

Kondensatory połączone równolegle możemy zastąpić równoważnym im kondensatorem o pojemności zastępczej C_Z . Kondensator C_Z  posiada jednakowy ładunek oraz jednakową różnicę potencjałów, jak układ równolegle połączonych kondensatorów.

Aby wyprowadzić ogólne wyrażenie pozwalające obliczyć pojemność zastępczą kondensatora C_Z , równoważnego kondensatorom połączonym równolegle, zacznijmy od zapisania zależności opisujących ładunek elektryczny zgromadzony na każdym z trzech kondensatorów z rysunku 3:

$$q_1 = C_1 \hspace{.05cm} U \hspace{1cm} , \hspace{1cm} q_2 = C_2 \hspace{.05cm} U \hspace{1cm} , \hspace{1cm} q_3 = C_3 \hspace{.05cm} U$$

Całkowity ładunek zgromadzony w układzie tych trzech kondensatorów wynosi więc:

$$q = q_1 + q_2 + q_3 = C_1 \hspace{.05cm} U + C_2 \hspace{.05cm} U + C_3 \hspace{.05cm} U = U \left( C_1 + C_2 + C_3 \right)$$

Wiemy, że całkowity ładunek elektryczny zgromadzony na kondensatorze C_Z  z rysunku 4 również jest równy q, w związku z czym:

$$q = C_Z \hspace{.05cm} U$$

Po przyrównaniu stronami wzorów na ładunek q, otrzymamy:

$$C_Z \hspace{.05cm} U = U \left( C_1 + C_2 + C_3 \right)$$

Pojemność zastępcza kondensatorów połączonych równolegle – wzór

Po skróceniu stronami powyższej zależności, dostaniemy:

$$C_Z = C_1 + C_2 + C_3$$

W ogólności, w przypadku n  kondensatorów połączonych równolegle pojemność zastępczą C_Z  możemy obliczyć stosując poniższe wyrażenie:

$$C_Z = \sum\limits^n_{i = 1} C_i = C_1 + C_2 + … + C_n$$