Pojemność kondensatora płaskiego, walcowego i kulistego

Pojemność elektryczna kondensatora to wielkość fizyczna będąca miarą ilości ładunku elektrycznego q,  jaki należy umieścić na okładkach kondensatora, aby wytworzyć między nimi różnicę potencjałów U.  W artykule Kondensatory – opis, budowa. Pojemność elektryczna napisaliśmy, że pojemność kondensatora zależy tylko i wyłącznie od jego geometrii, jednak nie poparliśmy tego żadnymi wzorami. W tym artykule zajmiemy się opisem oraz podamy wyrażenia na pojemność elektryczną kondensatora płaskiego, walcowego oraz kulistego.

Pojemność elektryczna kondensatora płaskiego

Kondensator płaski składa się z dwóch równoległych, przewodzących prąd elektryczny okładek o polu powierzchni S , znajdujących się od siebie w odległości równej d.  Na poniższym rysunku przedstawiono przekrój kondensatora płaskiego z zaznaczeniem ładunku zgromadzonego na powierzchni jego okładek oraz pola elektrycznego $\vec{E}$  występującego między tymi okładkami:

Kondensator płaski bez materiału izolującego

Gdy obszar pomiędzy okładkami kondensatora płaskiego wypełnia próżnia, wówczas wzór pozwalający obliczyć pojemność elektryczną tego kondensatora przedstawia się następująco:

$$C = \varepsilon_0 \hspace{.05cm} \dfrac{S}{d}$$

gdzie ε₀  to przenikalność elektryczna próżni (ε₀  = 8,85 ⋅ 10^-12 F/m – możemy też wyrazić tą wielkość w jednostce C²/(N ⋅ m²)), S – powierzchnia pojedynczej okładki kondensatora, a d  to odległość pomiędzy okładkami kondensatora.

Powyższa zależność potwierdza to, co napisaliśmy w artykule Kondensatory – opis, budowa. Pojemność elektryczna: pojemność elektryczna kondensatora zależy tylko i wyłącznie od jego geometrii (wielkość S  i d ). Zwróć uwagę, że im większe pole powierzchni okładek oraz im mniejsza odległość pomiędzy okładkami, tym większa pojemność elektryczna kondensatora płaskiego.

Kondensator płaski z materiałem izolującym

Wzór na pojemność kondensatora płaskiego ulegnie nieznacznej zmianie, gdy przestrzeń między jego okładkami będzie wypełniona materiałem izolującym (dielektrykiem). Okazuje się, że w takim przypadku wzór na pojemność C  kondensatora płaskiego będzie równy:

$$C = \varepsilon_0 \hspace{.1cm} \varepsilon_r \hspace{.05cm} \dfrac{S}{d}$$

gdzie ε_r  to względna przenikalność elektryczna materiału izolującego (wielkość ta jest bezwymiarowa tj. nie posiada jednostki).

W oparciu o powyższą zależność możemy stwierdzić, że umieszczenie dielektryka między okładkami kondensatora powoduje wzrost jego pojemności o wielkość ε_r. W poniższej tabeli podano wartość ε_r  dla wybranych izolatorów:

Materiały izolacyjne oprócz względnej przenikalności elektrycznej charakteryzują się m.in. tzw. wytrzymałością na przebicie. Parametr ten opisuje maksymalną wartość natężenia pola elektrycznego, jaką dielektryk może wytrzymać bez przebicia. Aby izolator nie uległ uszkodzeniu (przebiciu), napięcie między okładkami kondensatora musi być mniejsze od napięcia przebicia. Gdy napięcie przebicia zostanie przekroczone dielektryk ulegnie uszkodzeniu, a konsekwencją tego zjawiska będzie powstanie przewodzącej ścieżki między okładkami kondensatora.

Pojemność elektryczna kondensatora walcowego

Kondensator walcowy składa się z dwóch współosiowych powierzchni walcowych o promieniach r₁  oraz r₂  i długości l, przy czym l  ≫ r₁  oraz l  ≫ r₂. Poniższy rysunek przedstawia przekrój kondensatora walcowego z zaznaczeniem obydwu powierzchni walcowych oraz zgromadzonego na nich ładunku elektrycznego:

Pojemność elektryczną kondensatora walcowego możemy obliczyć stosując poniższe wzory:

– bez materiału izolującego między okładkami:

$$C = 2 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \varepsilon_0 \hspace{.1cm} \dfrac{l}{\textrm{ln} \hspace{.05cm} r_2 \hspace{.15cm} – \hspace{.1cm} \textrm{ln} \hspace{.05cm} r_1}$$

– z materiałem izolującym między okładkami:

$$C = 2 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \varepsilon_0 \hspace{.05cm} \varepsilon_r \hspace{.1cm} \dfrac{l}{\textrm{ln} \hspace{.05cm} r_2 \hspace{.15cm} – \hspace{.1cm} \textrm{ln} \hspace{.05cm} r_1}$$

gdzie l  to długość okładki kondensatora walcowego, a r₁  i r₂  to odpowiednio promień wewnętrznej oraz zewnętrznej okładki (w tym przypadku pod pojęciem ‘okładki’ rozumiemy obydwie powierzchnie walcowe kondensatora walcowego).

Pojemność elektryczna kondensatora kulistego

Kondensator kulisty składa się z dwóch współśrodkowych powłok sferycznych o promieniach r₁  i r₂.  Przekrój przez środek kondensatora kulistego wygląda identycznie jak przekrój kondensatora walcowego przedstawionego na powyższym rysunku. Aby obliczyć pojemność elektryczną tego kondensatora należy skorzystać z poniższych wyrażeń:

– bez materiału izolującego między okładkami:

$$C = 4 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \varepsilon_0 \hspace{.1cm} \dfrac{r_1 \hspace{.05cm} r_2}{r_2 \hspace{.15cm} – \hspace{.1cm} r_1}$$

– z materiałem izolującym między okładkami:

$$C = 4 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \varepsilon_0 \hspace{.05cm} \varepsilon_r \hspace{.1cm} \dfrac{r_1 \hspace{.05cm} r_2}{r_2 \hspace{.15cm} – \hspace{.1cm} r_1}$$

gdzie r₁  i r₂  to odpowiednio promień wewnętrznej oraz zewnętrznej okładki (w tym przypadku pod pojęciem ‘okładki’ rozumiemy obydwie powłoki sferyczne kondensatora kulistego).