Szeregowe i równoległe łączenie kondensatorów

21 lutego 2020

Układ kondensatorów połączonych szeregowo albo równolegle można znacznie uprościć poprzez zastąpienie go jednym, równoważnym kondensatorem o pojemności zastępczej CZ . W tym artykule zajmiemy się opisem i wyprowadzeniem wzorów pozwalających obliczyć pojemność zastępczą kondensatorów połączonych w sposób szeregowy oraz równoległy.

Szeregowe połączenie kondensatorów

Rysunek 1 przedstawia prosty obwód elektryczny składający się ze źródła prądu oraz z trzech kondensatorów o pojemnościach C1, C2  i C3  połączonych szeregowo. Zadaniem źródła jest utrzymywanie stałej różnicy potencjałów U  w obwodzie.

układ kondensatorów połączonych szeregowo - rysunek schematyczny - szeregowe i równoległe łączenie kondensatorów
Rysunek 1. Układ trzech kondensatorów połączonych w sposób szeregowy.

W szeregowym sposobie łączenia kondensatorów wszystkie kondensatory łączone są ze sobą w szereg, jeden za drugim: ujemnie naładowana okładka kondensatora C1 łączy się z dodatnio naładowaną okładką kondensatora C2, z kolei ujemnie naładowana okładka kondensatora C2 łączy się z dodatnio naładowaną okładką kondensatora C3. Zwróć uwagę, że zgodnie z powyższym rysunkiem różnica potencjałów U  przyłożona jest tylko do obydwu końców układu kondensatorów: biegun dodatni źródła połączony jest z dodatnio naładowaną okładką kondensatora C1, a biegun ujemny – z ujemnie naładowaną okładką kondensatora C3.

Źródło prądu podłączone do kondensatorów połączonych szeregowo wytwarza ładunki tylko i wyłącznie na tych okładkach kondensatorów, które są bezpośrednio połączone z biegunami źródła. Ładunki elektryczne na pozostałych okładkach pojawiają się wskutek przemieszczania się ładunków już istniejących (przemieszczaniu ulegają ładunki zgromadzone na okładkach kondensatorów połączonych z biegunami źródła). Zgodnie z rysunkiem 1 źródło prądu nie może zmienić ładunku na kondensatorze C2 (brak bezpośredniego połączenia ze źródłem) – ładunek na okładkach tego kondensatora pojawia się jako efekt przesuwania się ładunku z okładek kondensatora C3.

Szeregowe łączenie kondensatorów
Suma różnic potencjałów na wszystkich kondensatorach połączonych szeregowo równa jest różnicy potencjałów źródła prądu. Wartość ładunku elektrycznego zgromadzonego na każdym z tych kondensatorów jest jednakowa.

Aby uprościć układ kondensatorów przedstawionych na rysunku 1 możemy zastąpić je równoważnym im kondensatorem o pojemności CZ . Kondensator CZ  posiada jednakowy ładunek oraz jednakową różnicę potencjałów, jak układ szeregowo połączonych kondensatorów.

układ kondensatorów połączonych szeregowo - obwód równoważny - rysunek schematyczny - szeregowe i równoległe łączenie kondensatorów
Rysunek 2. Obwód elektryczny z kondensatorem o pojemności zastępczej CZ  zastępującym układ trzech kondensatorów połączonych szeregowo z rysunku 1.

Nadszedł więc czas, aby wyprowadzić ogólne wyrażenie pozwalające obliczać pojemność zastępczą układu kondensatorów połączonych w sposób szeregowy. Na początek zapiszmy wyrażenia opisujące różnicę potencjałów na każdym z trzech kondensatorów z rysunku 1. Korzystając ze wzoru q  = C U  (zobacz: Kondensatory – opis, budowa. Pojemność elektryczna) i przekształcając je względem U,  mamy:

$$U_1 = \dfrac{q}{C_1} \hspace{1cm} , \hspace{1cm} U_2 = \dfrac{q}{C_2} \hspace{1cm} , \hspace{1cm} U_3 = \dfrac{q}{C_3}$$

(zgodnie z tym co napisaliśmy wyżej, ładunek zgromadzony na każdym kondensatorze przyjmuje jednakową wartość)

Wiemy, że całkowita różnica potencjałów wytwarzana przez źródło jest sumą różnic potencjałów na wszystkich kondensatorach połączonych szeregowo, dlatego:

$$U = U_1 + U_2 + U_3 = \dfrac{q}{C_1} + \dfrac{q}{C_2} + \dfrac{q}{C_3} = q \left( \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} + \dfrac{1}{C_3} \right)$$

Różnica potencjałów na kondensatorze CZ  wynosi:

$$U = \dfrac{q}{C_Z}$$

Porównując stronami wyrażenia na U,  mamy:

$$\dfrac{q}{C_Z} = q \left( \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} + \dfrac{1}{C_3} \right)$$

Pojemność zastępcza kondensatorów połączonych szeregowo – wzór

Po skróceniu stronami powyższej zależności, dostaniemy:

$$\dfrac{1}{C_Z} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} + \dfrac{1}{C_3}$$

W ogólności, w przypadku n  kondensatorów połączonych szeregowo pojemność zastępczą CZ możemy obliczyć stosując poniższe wyrażenie:

$$\dfrac{1}{C_Z} = \sum\limits_{i=1}^n \dfrac{1}{C_i} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} + … + \dfrac{1}{C_n}$$

gdzie Ci  to pojemność i-tego kondensatora w obwodzie.

Równoległe połączenie kondensatorów

Podobnie jak w przypadku szeregowego układu kondensatorów, zacznijmy od narysowania obwodu elektrycznego składającego się ze źródła prądu oraz układu kondensatorów o pojemnościach C1, C2  i C3 , tym razem, połączonych równolegle:

układ kondensatorów połączonych równolegle - rysunek schematyczny - szeregowe i równoległe łączenie kondensatorów
Rysunek 3. Układ kondensatorów połączonych w sposób równoległy.

Równoległy sposób łączenia kondensatorów to taki, w którym zarówno jedne, jak i drugie okładki kondensatorów łączone są bezpośrednio ze sobą za pomocą wspólnych przewodów. Ponieważ, różnica potencjałów U  przykładana jest właśnie do tych dwóch (połączonych przewodami) okładek, dlatego też:

Równoległe łączenie kondensatorów
Różnica potencjałów na wszystkich kondensatorach połączonych równolegle jest równa różnicy potencjałów źródła. Całkowity ładunek zgromadzony w układzie kondensatorów połączonych równolegle jest równy sumie ładunków na poszczególnych kondensatorach.

Kondensatory połączone równolegle możemy zastąpić równoważnym im kondensatorem o pojemności zastępczej CZ . Kondensator CZ  posiada jednakowy ładunek oraz jednakową różnicę potencjałów, jak układ równolegle połączonych kondensatorów.

układ kondensatorów połączonych równolegle - obwód równoważny - rysunek schematyczny - szeregowe i równoległe łączenie kondensatorów
Rysunek 4. Obwód elektryczny z kondensatorem o pojemności zastępczej Cz  zastępującym układ trzech kondensatorów połączonych równolegle z rysunku 3.

Aby wyprowadzić ogólne wyrażenie pozwalające obliczyć pojemność zastępczą kondensatora CZ , równoważnego kondensatorom połączonym równolegle, zacznijmy od zapisania zależności opisujących ładunek elektryczny zgromadzony na każdym z trzech kondensatorów z rysunku 3:

$$q_1 = C_1 \hspace{.05cm} U \hspace{1cm} , \hspace{1cm} q_2 = C_2 \hspace{.05cm} U \hspace{1cm} , \hspace{1cm} q_3 = C_3 \hspace{.05cm} U$$

Całkowity ładunek zgromadzony w układzie tych trzech kondensatorów wynosi więc:

$$q = q_1 + q_2 + q_3 = C_1 \hspace{.05cm} U + C_2 \hspace{.05cm} U + C_3 \hspace{.05cm} U = U \left( C_1 + C_2 + C_3 \right)$$

Wiemy, że całkowity ładunek elektryczny zgromadzony na kondensatorze CZ  z rysunku 4 również jest równy q, w związku z czym:

$$q = C_Z \hspace{.05cm} U$$

Po przyrównaniu stronami wzorów na ładunek q, otrzymamy:

$$C_Z \hspace{.05cm} U = U \left( C_1 + C_2 + C_3 \right)$$

Pojemność zastępcza kondensatorów połączonych równolegle – wzór

Po skróceniu stronami powyższej zależności, dostaniemy:

$$C_Z = C_1 + C_2 + C_3$$

W ogólności, w przypadku n  kondensatorów połączonych równolegle pojemność zastępczą CZ  możemy obliczyć stosując poniższe wyrażenie:

$$C_Z = \sum\limits^n_{i = 1} C_i = C_1 + C_2 + … + C_n$$

Może to Cię również zainteresuje:

Oceń artykuł:

NieprzydatnySłabyPrzeciętnyPrzydatnyBardzo przydatny (7 ocen(-a), średnia ocena: 4,14 na 5)
Loading...

Tagi:

Dodaj komentarz

Pole wymagane
Pole wymagane (e-mail nie będzie widoczny)
Pole wymagane


2 komentarze

  • Paula

    Bardzo przydana treść!

  • Leon

    Fizyka zawsze mnie rajcowała i tak mi zostało.