Prawo Coulomba – zadanie nr 8

Dwie kulki o jednakowych masach m  wiszą na nitkach o długości l. Po naładowaniu ich jednakowymi ładunkami kulki rozeszły się na odległość a. Oblicz ładunek q.

(Zadanie ze zbioru: K. Chyła Zbiór prostych zadań z fizyki dla uczniów szkół średnich)

Kulki naładowano ładunkami o tej samej wartości i tym samym znaku, w związku z czym siła oddziaływania elektrostatycznego pomiędzy nimi ma charakter odpychający (zobacz: Prawo Coulomba). Kulki mają identyczne masy, dlatego każda z nich odchyli się o ten sam kąt φ od pionu (zobacz poniższy rysunek):

Wielkością szukaną w zadaniu jest ładunek q  zgromadzony na każdej z kulek. Aby obliczyć jego wartość zapiszmy na początku wyrażenie opisujące siłę oddziaływania elektrostatycznego F  pomiędzy kulkami:

$$F = k \hspace{.05cm} \frac{|q| \hspace{.05cm} |q|}{a^2} = k \hspace{.05cm} \frac{|q|^2}{a^2}$$

gdzie:
k  – stała elektrostatyczna równa  $k = \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$,
a  – odległość pomiędzy środkami kulek.

Po przekształceniu powyższego wzoru względem ładunku q  oraz spierwiastkowaniu otrzymanego w ten sposób wyrażenia, dostaniemy:

$$|q| = \sqrt{\frac{\mathstrut F \hspace{.05cm} a^2}{k}} = a \hspace{.05cm} \sqrt{\frac{\mathstrut F}{k}}$$

Wartości a  i k  są znane, F  musimy znaleźć. W tym celu skorzystamy z definicji tangensa kąta. Zauważ, że zgodnie z powyższym rysunkiem:

$$\textrm{tg} \hspace{.05cm} \varphi = \frac{\frac{1}{2} \hspace{.05cm} a}{h}$$

oraz

$$\textrm{tg} \hspace{.05cm} \varphi = \frac{F}{F_g}$$

gdzie F_g  to siła ciężkości działająca na kulkę.

Przyrównując stronami dwa powyższe równania otrzymamy:

$$\frac{\frac{1}{2} \hspace{.05cm} a}{h} = \frac{F}{F_g} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} F = \frac{F_g \hspace{.1cm} a}{2 \hspace{.05cm} h}$$

Siła ciężkości, zgodnie z definicją, równa jest $F_g = m \hspace{.05cm} g$,  gdzie m  – masa kulki, g  – przyspieszenie ziemskie. h , czyli odległość dzielącą punkt zawieszenia wahadła od punktu znajdującego się na prostej łączącej środki obydwu kulek, możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa (trójkąt o bokach 1/2 a , h  i l  jest trójkątem prostokątnym):

$$\left( \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} a \right)^2 + h^2 = l^2 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \tfrac{1}{4} \hspace{.05cm} a^2 + h^2 = l^2$$

skąd po przekształceniu względem h  oraz po spierwiastkowaniu dostaniemy:

$$h^2 = l^2 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \tfrac{1}{4} \hspace{.05cm} a^2 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} h = \sqrt{l^2 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \tfrac{1}{4} \hspace{.05cm} a^2}$$

Po podstawieniu do wzoru $F = \dfrac{F_g \hspace{.05cm} a}{2 h}$ wyrażenia na F_g  i h  otrzymamy:

$$F = \frac{m \hspace{.05cm} g \hspace{.05cm} a}{2 \cdot \sqrt{l^2 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{4} \hspace{.05cm} a^2}}$$

Znając wyrażenie na siłę F , możemy podstawić je do wzoru na ładunek q:

$$|q| = a \hspace{.05cm} \sqrt{\frac{\mathstrut F}{k}} = a \cdot \sqrt{\frac{\mathstrut m \hspace{.05cm} g \hspace{.05cm} a}{2 \hspace{.05cm} k \cdot \sqrt{l^2 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{4} \hspace{.05cm} a^2}}}$$

Ponieważ $k = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0}$, otrzymamy w efekcie:

$$|q| = a \cdot \sqrt{\frac{\mathstrut 4 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \epsilon_0 \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} g \hspace{.05cm} a}{2 \cdot \sqrt{l^2 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{4} \hspace{.05cm} a^2}}} = 2 \hspace{.05cm} a \cdot \sqrt{\frac{\mathstrut \pi \hspace{.05cm} \epsilon_0 \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} g \hspace{.05cm} a}{2 \cdot \sqrt{l^2 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{4} \hspace{.05cm} a^2}}} = 2 \hspace{.05cm} a \cdot \sqrt{\frac{\mathstrut \pi \hspace{.05cm} \epsilon_0 \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} g \hspace{.05cm} a}{\sqrt{4 \hspace{.05cm} l^2 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} a^2}}}$$