Prawo Coulomba – zadanie nr 9

Jak zmieni się siła oddziaływania elektrostatycznego pomiędzy dwiema jednakowymi metalowymi kulkami naładowanymi jednoimiennymi ładunkami q₁  i q₂  ≠ q₁ , jeżeli kulki te zetkniemy ze sobą, a następnie odsuniemy na poprzednią odległość?

(Zadanie ze zbioru: K. Chyła Zbiór prostych zadań z fizyki dla uczniów szkół średnich)

Załóżmy, że odległość pomiędzy kulkami jest równa r, a ładunek zgromadzony na pierwszej oraz drugiej kulce wynosi odpowiednio q₁  oraz q₂  = q₁  + Δq  (ładunki kulek różnią się od siebie; założyliśmy, że różnica ładunków wynosi Δq ). Przed zetknięciem kulek siła ich wzajemnego oddziaływania elektrostatycznego F₁  wynosi (zobacz: Prawo Coulomba):

$$F_1 = k \hspace{.05cm} \frac{|q_1| \hspace{.05cm} |q_2|}{r^2} = k \hspace{.05cm} \frac{|q_1| \hspace{.05cm} |q_1 + \Delta q|}{r^2}$$

Konsekwencją zetknięcia kulek będzie oczywiście zmiana ich ładunku. Ponieważ zgodnie z treścią zadania, kulki posiadają jednakowe rozmiary, dlatego też po ich zetknięciu ładunek elektryczny rozłoży się równomiernie na każdej z nich (ładunek ulegnie wyrównaniu). Przed zetknięciem ładunki zgromadzone na kulkach różniły się o wielkość Δq . Po ich zetknięciu ładunek na każdej z kulek zmieni się więc o Δq/2: na pierwszej – wzrośnie o Δq/2, na drugiej – zmaleje o Δq/2. Po ponownym rozsunięciu kulek na odległość r  siła oddziaływania elektrostatycznego F₂  pomiędzy kulkami będzie więc równa:

$$F_2 = k \hspace{.05cm} \frac{\left( |q_1 + \frac{\Delta q}{2}| \right) \left( |q_1 + \Delta q \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{\Delta q}{2}| \right)}{r^2} = k \hspace{.05cm} \frac{\left( |q_1 + \frac{\Delta q}{2}| \right)^2}{r^2}$$

Aby dowiedzieć się jak zmieni się siła F₂  (po zetknięciu kulek) względem siły F₁  (przed zetknięciem kulek), obliczmy ich różnicę $F_2 \hspace{.1cm} – F_1$.  Jeżeli $F_2 \hspace{.1cm} – F_1 \gt 0$ – siła oddziaływania wzrośnie, jeżeli $F_2 \hspace{.1cm} – F_1 \lt 0$ – siła oddziaływania zmaleje, a gdy $F_2 \hspace{.1cm} – F_1 = 0$ – siła nie ulegnie zmianie. Po wykonaniu stosownych obliczeń dostaniemy:

$$F_2 \hspace{.1cm} – F_1 = k \hspace{.05cm} \frac{\left( |q_1 + \frac{\Delta q}{2}| \right)^2}{r^2} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} k \hspace{.05cm} \frac{|q_1| \hspace{.05cm} |q_1 + \Delta q|}{r^2} = \frac{k}{r^2} \hspace{.05cm} \frac{|\Delta q|^2}{4}$$

Widzimy więc, że siła F₂  różni się od siły F₁  o wartość $\dfrac{k}{r^2} \dfrac{|\Delta q|^2}{4}$. Zauważ, że wielkość ta jest zawsze większa od zera (wykluczamy przypadek, w którym Δq = 0, ponieważ ładunki elektryczne kulek muszą mieć różną wartość), co oznacza, że po zetknięciu i ponownym rozsunięciu kulek na tą samą odległość, co przed ich zetknięciem, siła oddziaływania elektrostatycznego pomiędzy kulkami wzrośnie.