Natężenie pola elektrycznego – zadanie nr 1

Dwa równe i różnoimienne ładunki o wielkości 2 ⋅ 10^-7 C znajdują się w odległości 15 cm od siebie.

a) Jaka jest wielkość i kierunek natężenia pola elektrycznego w środku odległości pomiędzy ładunkami?

b) Jaka siła (wielkość i kierunek) działałaby na elektron umieszczony w tym punkcie?

Przypadek a)

Zgodnie z definicją wartość natężenia pola elektrycznego $\vec{E}$  wytwarzanego przez naładowaną cząstkę, nazywaną również ‘ładunkiem punktowym’, możemy obliczyć posługując się poniższym wzorem:

$$E = \frac{1}{4 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \varepsilon_0} \hspace{.05cm} \frac{q}{r^2} = k \hspace{.05cm} \frac{q}{r^2}$$

gdzie:
k  – stała elektrostatyczna równa 9 ⋅ 10⁹ N ⋅ m²/C²,
q  – ładunek naładowanej cząstki,
r  – odległość pomiędzy środkiem cząstki, a punktem, w którym chcemy obliczyć natężenie pola elektrycznego.

Zgodnie z teorią linie sił pola elektrycznego dla ciała naładowanego dodatnio skierowane są od tego ciała (na zewnątrz), a dla ciała naładowanego ujemnie – skierowane do tego ciała (do wewnątrz). W pierwszej części zadania mamy obliczyć wartość oraz kierunek natężenia pola elektrycznego w środku odległości pomiędzy dwoma jednakowo naładowanymi różnoimiennymi ładunkami – ładunki różnoimienne to ładunki o przeciwnych znakach. Na potrzeby zadania jeden z tych ładunków oznaczymy jako q₁, drugi z nich jako q₂. Załóżmy ponadto, że ładunek q₁ jest naładowany dodatnio – q₁ = + 2 ⋅ 10^-7 C, a ładunek q₂ jest naładowany ujemnie – q₂ = – 2 ⋅ 10^-7 C. Ponieważ pierwszy ładunek jest naładowany dodatnio zatem wektor natężenia pola elektrycznego dla tego ładunku będzie zwrócony na zewnątrz (tj. od niego), z kolei wektor natężenia pola dla ładunku drugiego będzie zwrócony w stronę tego ładunku, czyli tak jak pokazano to na poniższym rysunku:

Zauważ, że wektory natężenia pola elektrycznego dla pierwszego oraz drugiego ładunku zwrócone są w tą samą stronę, zatem zwrot wypadkowego wektora natężenia pola elektrycznego musi być zgodny ze zwrotem tych dwóch wektorów (tj. zwrócony w stronę ładunku q₂). Aby obliczyć wypadkową wartość natężenia pola elektrycznego skorzystamy z poniższego wzoru (wektory $\vec{E}_1$  i  $\vec{E}_2$ mają ten sam zwrot, zatem wypadkowa wartość natężenia pola jest równa sumie wartości pola tych dwóch ładunków):

$$E_{wyp} = E_1 + E_2 = k \hspace{.05cm} \frac{|q_1|}{\left( \frac{r}{2} \right)^2} + k \hspace{.05cm} \frac{|q_2|}{\left( \frac{r}{2} \right)^2} = \frac{4 \hspace{.05cm} k}{r^2} \left( |q_1| + |q_2| \right)$$

gdzie r  to odległość pomiędzy ładunkami.

Po podstawieniu do powyższego wzoru wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń, dostaniemy wartość natężenia pola elektrycznego w połowie odległości pomiędzy ładunkami, równą:

$$E_{wyp} = \frac{4 \cdot 9 \cdot 10^9 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{N} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} \textrm{m}^2}{\textrm{C}^2}}{\left( 0,\hspace{-.1cm}15 \hspace{.05cm} \textrm{m} \right)^2} \cdot \left( |2 \cdot 10^{-7} \hspace{.05cm} \textrm{C}| + |\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 2 \cdot 10^{-7} \hspace{.05cm} \textrm{C}| \right) = 640000 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{N}}{\textrm{C}}$$

Przypadek b)

Zajmijmy się teraz drugą częścią zadania. Tym razem mamy obliczyć siłę wypadkową z jaką na elektron, umieszczony w połowie odległości pomiędzy ładunkami, działałyby te dwa ładunki. Sytuację tą przedstawia poniższy rysunek:

Elektron to cząstka naładowana ujemnie w związku z czym oddziaływanie elektrostatyczne pomiędzy elektronem, a ładunkiem q₁ (naładowanym dodatnio) będzie miało charakter przyciągający, z kolei pomiędzy elektronem, a ładunkiem q₂ (naładowanym ujemnie) – charakter odpychający. Ponieważ siły te mają ten sam zwrot, zatem siła wypadkowa działająca na elektron będzie posiadać zwrot zgodny ze zwrotem tychże sił (tj. w kierunku ładunku q₁). Aby obliczyć wartość siły wypadkowej działającej na elektron skorzystamy z prawa Coulomba opisującego siłę oddziaływania elektrostatycznego pomiędzy ładunkami:

$$F = \frac{1}{4 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \epsilon_0} \frac{|q_1| \hspace{.05cm} |q_2|}{r^2} = k \hspace{.05cm} \frac{|q_1| \hspace{.05cm} |q_2|}{r^2}$$

Wyrażenie na siłę wypadkową działającą na elektron będzie więc równe:

$$F_{wyp} = F_1 + F_2 = k \hspace{.05cm} \frac{|q_1| \hspace{.05cm} |e|}{\left( \frac{r}{2} \right)^2} + k \hspace{.05cm} \frac{|q_2| \hspace{.05cm} |e|}{\left( \frac{r}{2} \right)^2} = \frac{4 \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} |e|}{r^2} \left( |q_1| + |q_2| \right)$$

gdzie e  to ładunek elektronu równy 1,6021 ⋅ 10^-19 C.

Po podstawieniu do powyższego wyrażenia wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń, otrzymamy F_wyp , równe:

$$F_{wyp} = \frac{4 \cdot 9 \cdot 10^9 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{N} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} \textrm{m}^2}{\textrm{C}^2} \cdot 1,\hspace{-.1cm}6021 \cdot 10^{-19} \hspace{.05cm} \textrm{C}}{\left( 0,\hspace{-.1cm}15 \hspace{.05cm} \textrm{m} \right)^2} \cdot \left( |2 \cdot 10^{-7} \hspace{.05cm} \textrm{C}| + |\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 2 \cdot 10^{-7} \hspace{.05cm} \textrm{C}| \right) = 1 \cdot 10^{-13} \hspace{.05cm} \textrm{N}$$