Fale mechaniczne – opis. Amplituda, faza, liczba falowa, okres, częstotliwość, częstość kołowa i prędkość fali

13 lutego 2020

W tym artykule zajmiemy się opisem wielkości fizycznych charakteryzujących fale mechaniczne. Za przykład posłuży nam fala poprzeczna wytworzona w linie, czyli fala, w której drgania ośrodka (w tym przypadku drgania elementów liny) zachodzą w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali. Wzory, które znajdziesz w dalszej części tego artykułu będzie można zastosować nie tylko do opisu mechanicznych fal poprzecznych, ale także do opisu mechanicznych fal podłużnych (np. fal dźwiękowych). A zatem do dzieła!

Jak wytworzyć i opisać mechaniczną falę poprzeczną?

Gdy złapiemy jeden koniec napiętej liny i zaczniemy poruszać nim w sposób ciągły w górę i w dół ruchem harmonicznym, to efektem tych działań będzie powstanie ciągłego zaburzenia kształtu liny poruszającego się wzdłuż niej z pewną prędkością. To zaburzenie kształtu liny to nic innego tylko fala. Zgodnie z poniższym rysunkiem elementy liny poruszają się prostopadle do kierunku rozchodzenia się fali, w związku z czym fala wytworzona w linie jest falą poprzeczną.

mechaniczna fala poprzeczna wytworzona w linie - rysunek schematyczny - fale mechaniczne - opis
Fala poprzeczna wytworzona w linie – rysunek schematyczny. Czerwona strzałka wskazuje kierunek ruchu fali. Grzbiet i dolina fali to punkty związane z maksymalnym przemieszczeniem elementu ośrodka odpowiednio w kierunku dodatnich oraz ujemnych wartości osi y.

Aby móc powiedzieć coś więcej na temat tej fali, musimy zacząć od znalezienia funkcji, która pozwoli nam opisać jej kształt. Funkcja ta musi opisywać poprzeczne przemieszczenie y  elementu liny w zależności od położenia x  elementu liny oraz od czasu t. Patrząc na powyższy rysunek nietrudno się domyślić, że kształt fali wytworzonej w linie może być opisany za pomocą jednej z dwóch podstawowych funkcji trygonometrycznych tj. funkcji sinus albo funkcji cosinus. Ponieważ w artykule Ruch harmoniczny – opis przyjęliśmy, że wychylenie ciała z położenia równowagi będziemy opisywać przy pomocy funkcji cosinus, to i w tym przypadku postąpimy tak samo. Gdy fala wytworzona w linie porusza się w dodatnim kierunku osi x  (czyli tak jak na powyższym rysunku), przemieszczenie y  elementu liny w punkcie x  w chwili t, wynosi:

$$y \hspace{.05cm} (x, t) = A \hspace{.1cm} \textrm{cos} \left( k \hspace{.05cm} x \hspace{.15cm} – \hspace{.1cm} \omega \hspace{.05cm} t \right)$$

gdzie:
A  – amplituda fali,
kx  – ωt  – faza fali,
k  – liczba falowa,
ω  – częstość kołowa.

(w przypadku fali poruszającej się w ujemnym kierunku osi x  faza fali będzie równa kx  + ωt )

Amplituda fali

Amplitudą fali A  nazywamy bezwzględną wartość maksymalnego przemieszczenia elementu ośrodka (w naszym przykładzie elementu liny) względem jego położenia równowagi. Zwróć uwagę, że zgodnie z rysunkiem maksymalne przemieszczenie elementu liny występuje zarówno w dodatniej, jak i ujemnej połówce kosinusoidy. Ze względu na ten fakt interesuje nas właśnie bezwzględna wartość A (dzięki temu A  zawsze będzie dodatnie). Jednostką amplitudy w układzie SI jest jednostka długości, czyli metr (m).

Faza fali

Fazą fali nazywamy argument kx  – ωt  funkcji cosinus występującej w wyrażeniu opisującym przemieszczenie y  elementu liny. Faza fali ulega zmianie wraz ze zmianą położenia x  oraz czasu t. Korzystając z własności funkcji cosinus możemy stwierdzić, że wartość wyrażenia cos (kxωt ) zmienia się w przedziale [-1, +1]. Wartość cos (kxωt ) = 1 odpowiada grzbietowi fali przechodzącemu przez element ośrodka (przemieszczenie y  = 1), z kolei wartość cos (kxωt ) = -1 – dolinie fali (przemieszczenie y  = -1).

Liczba falowa i długość fali

Długość fali λ  to odległość między kolejnymi powtórzeniami kształtu fali, mierzona równolegle do kierunku rozprzestrzeniania się fali. Jednostką długości fali w układzie SI jest jednostka długości, czyli metr (m).

Wielkość k  występująca w wyrażeniu kx  – ωt  nazywana jest liczbą falową. Wielkość ta zdefiniowana jest następująco:

$$k = \dfrac{2 \hspace{.05cm} \pi}{\lambda}$$

Jednostką liczby falowej w układzie SI jest radian na sekundę (rad/s).

Okres i częstość kołowa fali

Okres T  to czas, w którym dowolny element ośrodka (np. element liny) wykonuje jedno pełne drganie. Jednostką okresu w układzie SI jest jednostka czasu, czyli sekunda (s).

Wielkość ω  występująca w wyrażeniu kx  – ωt  to częstość kołowa fali, opisująca szybkość, z jaką powtarza się jedno pełne drganie elementu ośrodka. Wielkość ta związana jest z okresem ruchu T następującą zależnością:

$$\omega = \frac{2 \hspace{.05cm} \pi}{T}$$

Jednostką częstości kołowej w układzie SI jest radian na sekundę (rad/s).

Częstotliwość fali

Odwrotnością okresu T  jest częstotliwość f  opisująca liczbę pełnych drgań elementu ośrodka wykonywanych podczas każdej sekundy ruchu ciała. Częstotliwość f  jest równa:

$$f = \frac{1}{T}$$

Jednostką częstotliwości w układzie SI jest herc (Hz), związany z jednostką czasu – sekundą – poniższą zależnością:

$$1 \hspace{.05cm} \textrm{Hz} = \frac{1}{\textrm{s}}$$

Po podstawieniu zależności wiążącej okres T  z częstotliwością f  do wyrażenia na częstość kołową ω, otrzymamy:

$$\omega = \frac{2 \hspace{.05cm} \pi}{T} = 2 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} f$$

Prędkość fali

Prędkość V, z jaką fala rozchodzi się w ośrodku możemy obliczyć z poniższego wzoru:

$$V = \dfrac{\omega}{k}$$

Ponieważ $\omega = 2 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} f$,  a  $k = \dfrac{2 \hspace{.05cm} \pi}{\lambda}$,  mamy:

$$V = \dfrac{2 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} f}{\dfrac{2 \hspace{.05cm} \pi}{\lambda}} = \lambda \hspace{.05cm} f$$

Jednostką prędkości fali w układzie SI jest metr na sekundę (m/s).

Może to Cię również zainteresuje:

Oceń artykuł:

NieprzydatnySłabyPrzeciętnyPrzydatnyBardzo przydatny (2 ocen(-a), średnia ocena: 5,00 na 5)
Loading...

Tagi:

Dodaj komentarz

Pole wymagane
Pole wymagane (e-mail nie będzie widoczny)
Pole wymagane