Siatka dyfrakcyjna – zadanie nr 2

Na siatkę dyfrakcyjną mającą 500 rys/mm pada prostopadle fala świetlna o długości λ  = 486 nm. Znajdź liczbę prążków interferencyjnych obserwowanych na ekranie oraz kąt, pod którym obserwujemy ostatni prążek.

Na początek wyznaczmy stałą siatki dyfrakcyjnej (zobacz: Siatka dyfrakcyjna – zadanie nr 1):

$$d = \frac{1 \hspace{.05cm} \textrm{mm}}{500} = \frac{1 \cdot 10^{-3} \hspace{.05cm} \textrm{m}}{5 \cdot 10^2} = 2 \cdot 10^{-6} \hspace{.05cm} \textrm{m}$$

Liczbę prążków interferencyjnych obserwowanych na ekranie obliczymy stosując równanie siatki dyfrakcyjnej:

$$d \hspace{.1cm} \textrm{sin} \hspace{.05cm} \theta = m \hspace{.05cm} \lambda$$

gdzie:
θ  – kąt ugięcia światła na siatce dyfrakcyjnej,
m  – rząd widma,
λ  – długość fali światła padającego na siatkę dyfrakcyjną.

Zgodnie z definicją, rząd widma m  to liczba całkowita przypisana każdej linii w widmie interferencyjnym powstającym na ekranie, opisująca jej położenie w widmie względem linii centralnej tj. linii zerowego rzędu, dla której m  = 0. Dla przykładu: gdy m  = 1 na ekranie widoczne są trzy prążki interferencyjne: jeden prążek zerowego rzędu i dwa prążki pierwszego rzędu położone po obydwu stronach prążka zerowego. Gdy m  = 2 na ekranie zaobserwujemy pięć prążków: jeden zerowego rzędu, dwa prążki pierwszego oraz dwa prążki drugiego rzędu itd.

Aby wyznaczyć maksymalną liczbę prążków interferencyjnych, które zobaczymy na ekranie wstawimy w miejsce kąta θ (w równaniu siatki dyfrakcyjnej) wartość 90^o – odpowiada to sytuacji, w której promień świetlny uginając się na szczelinie siatki pod kątem prostym nie dotrze do powierzchni ekranu i tym samym nie wpłynie już na obraz widma interferencyjnego.

Przekształcając równanie siatki dyfrakcyjnej względem rzędu widma m, otrzymamy:

$$m = \frac{d \hspace{.1cm} \textrm{sin} \hspace{.05cm} \theta}{\lambda} = \frac{d \hspace{.1cm} \textrm{sin} \hspace{.05cm} 90^\textrm{o}}{\lambda} = \frac{d}{\lambda}$$

skąd po podstawieniu wartości liczbowych i wykonaniu obliczeń dostaniemy:

$$m = \frac{2 \cdot 10^{-6} \hspace{.05cm} \textrm{m}}{486 \hspace{.05cm} \textrm{nm}} = \frac{2 \cdot 10^{-6} \hspace{.05cm} \textrm{m}}{4,\hspace{-.1cm}86 \cdot 10^{-7} \hspace{.05cm} \textrm{m}} = 4,\hspace{-.1cm}12 \approx 4$$

Rząd widma, jak napisaliśmy wyżej, jest liczbą całkowitą, dlatego dla m  = 4 zobaczymy na ekranie dziewięć prążków interferencyjnych.

Znając maksymalny rząd widma możemy przystąpić do obliczenia kąta, pod którym musi ugiąć się na siatce promień świetlny, abyśmy mogli zaobserwować najbardziej oddalony od linii centralnej prążek interferencyjny. Mamy:

$$\textrm{sin} \hspace{.05cm} \theta = \frac{m \hspace{.05cm} \lambda}{d} = \frac{4 \cdot 4,\hspace{-.1cm}86 \cdot 10^{-7} \hspace{.05cm} \textrm{m}}{2 \cdot 10^{-6} \hspace{.05cm} \textrm{m}} = 0,\hspace{-.1cm}972$$

Powyższa równość spełniona jest dla kąta θ  = 76,5^o – pod takim właśnie kątem zaobserwujemy na ekranie ostatni prążek interferencyjny.