Przyrządy optyczne – zadanie nr 5

Weronika nosi okulary o zdolności skupiającej Z  = -1 D. Pozwalają jej one dobrze widzieć z odległości d  = 20 cm. Oblicz zdolność skupiającą okularów, które umożliwiłyby jej dobre widzenie z odległości d₁  = 25 cm.

Wielkością szukaną jest zdolność skupiająca Z₁  soczewek okularów, które umożliwiłyby Weronice dobre widzenie z odległości d₁  = 25 cm. Aby wyznaczyć wartość Z₁  skorzystamy z równania soczewki, które zapiszemy dla dwóch przypadków. Pierwszy z nich będzie odpowiadać sytuacji, w której Weronika dobrze widzi przedmioty z odległości d  = 20 cm, drugi z nich, gdy te same przedmioty będą widziane wyraźnie z odległości d₁  = 25 cm.

W pierwszym przypadku dostaniemy:

$$\frac{1}{d} + \frac{1}{a} = \frac{1}{f_{oka}} + \frac{1}{f_{okul}}$$

gdzie:
d  – odległość wyraźnego widzenia przedmiotów z odległości 20 cm,
a  – odległość od soczewki oka do siatkówki, równa średnicy gałki ocznej,
f_oka  – ogniskowa soczewki oka,
f_okul  – ogniskowa okularów o zdolności skupiającej Z  = – 1 D.

W drugim przypadku mamy:

$$\frac{1}{d_1} + \frac{1}{a} = \frac{1}{f_{oka}} + \frac{1}{f_{1okul}}$$

gdzie:
d₁  – odległość wyraźnego widzenia przedmiotów z odległości 25 cm,
f_1okul  – ogniskowa okularów o zdolności skupiającej Z₁.

Przekształcając pierwsze równanie względem 1/a :

$$\frac{1}{a} = \frac{1}{f_{oka}} + \frac{1}{f_{okul}} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{d}$$

i podstawiając je następnie do drugiego równania, otrzymamy:

$$\frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_{oka}} +\frac{1}{f_{okul}} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{d} = \frac{1}{f_{oka}} + \frac{1}{f_{1okul}}$$

Po skróceniu i skorzystaniu z faktu, że

$$Z = \dfrac{1}{f_{okul}}$$

oraz

$$Z_1 = \dfrac{1}{f_{1okul}}$$

dostaniemy:

$$\frac{1}{d_1} + Z \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{d} = Z_1 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} Z_1 = Z + \frac{1}{d_1} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{d}$$

Po podstawieniu wartości liczbowych (pamiętając o wyrażeniu odległości d  i d₁  w metrach):

$$Z_1 = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \hspace{.05cm} \textrm{D} + \frac{1}{0,\hspace{-.1cm}25 \hspace{.05cm} \textrm{m}} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{0,\hspace{-.1cm}20 \hspace{.05cm} \textrm{m}} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \hspace{.05cm} \textrm{D} + 4 \hspace{.05cm} \textrm{D} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 5 \hspace{.05cm} \textrm{D} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 2 \hspace{.05cm} \textrm{D}$$