Przyrządy optyczne – zadanie nr 4

Odległość, z jakiej krótkowidz może jeszcze wyraźnie widzieć przedmioty wynosi l  = 1,5 m. Ile musi wynosić zdolność skupiająca Z  soczewek okularów, aby mógł on dostrzegać przedmioty położone bardzo daleko (d  = ∞)? Jakie to będą soczewki?

Wielkością szukaną w zadaniu jest zdolność skupiająca Z  soczewek okularów, jakich powinien używać krótkowidz, aby móc wyraźnie widzieć przedmioty umieszczone w bardzo dużej odległości od jego oczu. Aby obliczyć wartość Z  skorzystamy z równania soczewki, które zapiszemy dla dwóch przypadków: pierwszy z nich będzie odnosić się do sytuacji, w której krótkowidz nie używa okularów, drugi z nich do sytuacji, gdy krótkowidz korzysta z okularów.

W pierwszym przypadku równanie soczewki wynosi:

$$\frac{1}{l} + \frac{1}{a} = \frac{1}{f_{oka}}$$

gdzie:
l  – odległość, dla której krótkowidz dostrzega wyraźnie przedmioty bez użycia okularów,
a  – odległość od soczewki oka do siatkówki, równa średnicy gałki ocznej,
f_oka  – ogniskowa soczewki oka.

Gdy krótkowidz używa okularów, równanie soczewki jest z kolei równe:

$$\frac{1}{d} + \frac{1}{a} = \frac{1}{f_{oka}} + \frac{1}{f_{okul}}$$

gdzie:
d  – odległość, dla której krótkowidz widzi wyraźnie przedmioty z użyciem okularów,
f_okul  – ogniskowa okularów.

Z treści zadania wynika, że d  = ∞, dlatego po uwzględnieniu tego faktu otrzymamy:

$$\frac{1}{\infty} + \frac{1}{a} = 0 + \frac{1}{a} = \frac{1}{a} + \frac{1}{f_{oka}} + \frac{1}{f_{okul}}$$

Wstawiając następnie w miejsce 1/f_oka  wielkość 1/l  + 1/a  występującą w pierwszym równaniu soczewki, dostaniemy:

$$\frac{1}{a} = \frac{1}{l} + \frac{1}{a} + \frac{1}{f_{okul}} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{l} = \frac{1}{f_{okul}}$$

Ponieważ

$$Z = \frac{1}{f_{okul}}$$

zatem:

$$\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{l} = Z \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} Z = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{l} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{1,\hspace{-.1cm}5 \hspace{.05cm} \textrm{m}} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{2}{3} \hspace{.05cm} \textrm{D}$$

Ujemna wartość zdolności skupiającej soczewki oznacza, że soczewka ta jest soczewką rozpraszającą promienie świetlne.