Prawa Kirchhoffa – zadanie nr 7

12 października 2011

Oblicz jakie napięcie wskaże woltomierz, jeżeli różnica potencjałów na zaciskach źródła SEM wynosi ε  = 100 V, a rezystancja oporników jest równa: R1  = 5 Ω, R2  = R3  = 10 Ω.

obwód elektryczny - rysunek schematyczny - prawa Kirchhoffa - zadanie nr 7

(Zadanie ze zbioru: K. Chyła Zbiór prostych zadań z fizyki dla uczniów szkół średnich)

rozwiązanie

Sposób w jaki rozwiążemy to zadanie będzie podobny do tego jaki zastosowaliśmy w przypadku zadania Prawo Kirchhoffa – zadanie nr 6. Na początku korzystając z drugiego prawa Kirchhoffa zapiszmy dla oczka składającego się ze źródła SEM oraz rezystorów R1  i R3  wyrażenie na napięcie U  = VA  – VB . Analizę rozpoczniemy w punkcie VB , a zakończymy w punkcie VA, poruszając się zgodnie z kierunkiem przepływu prądu I  tj. zgodnie z ruchem wskazówek zegara (zobacz rysunek poniżej).

obwód elektryczny - oznaczenia - rysunek schematyczny - prawa Kirchhoffa - zadanie nr 7

Dostaniemy:

$$V_B \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} I \hspace{.05cm} R_3 + \varepsilon = V_A \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} U = V_A \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} V_B = \varepsilon \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} I \hspace{.05cm} R_3$$

Wielkością szukaną jest, zgodnie z powyższym równaniem, natężenie prądu I, czyli prądu wytwarzanego przez źródło SEM. Aby dowiedzieć się ile wynosi to natężenie, uprościmy obwód pokazany na powyższym rysunku do tego stopnia, aby składał się on tylko z rezystora RZ  – rezystora równoważnego opornikom R1, R2  i R3. W tym celu najpierw obliczmy opór R12  dla połączonych równolegle rezystorów R1  i R2 :

$$\frac{1}{R_{12}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{R_1 + R_2}{R_1 \cdot R_2} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} R_{12} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$$

Teraz wyznaczmy opór RZ. Zgodnie z poniższym rysunkiem:

obwód elektryczny - uproszczenie - rysunek schematyczny - prawa Kirchhoffa - zadanie nr 7

rezystory R12  i R3  połączone są szeregowo, w związku z czym opór RZ  wynosi:

$$R_Z = R_{12} + R_3 = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} + R_3 = \frac{R_1 \hspace{.05cm} R_2 + R_3 \left( R_1 + R_2 \right)}{R_1 + R_2}$$

Ostatecznie więc obwód z rezystorem RZ  przedstawia się następująco:

obwód elektryczny - uproszczenie - rezystor zastępczy - rysunek schematyczny - prawa Kirchhoffa - zadanie nr 7

Drugie prawo Kirchhoffa zapisane dla tego obwodu wynosi:

$$\varepsilon \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} I \hspace{.05cm} R_Z = 0 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} I = \frac{\varepsilon}{R_Z}$$

Podstawiając powyższe równanie do wzoru na U, otrzymamy:

$$U = \varepsilon \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} I \hspace{.05cm} R_3 = \varepsilon \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} \frac{\varepsilon \hspace{.05cm} R_3}{R_Z} = \varepsilon \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{\varepsilon \hspace{.05cm} R_3 \left( R_1 + R_2 \right)}{R_1 \hspace{.05cm} R_2 + R_3 \left( R_1 + R_2 \right)} = \frac{\varepsilon \hspace{.05cm} R_1 \hspace{.05cm} R_2}{R_1 \hspace{.05cm} R_2 + R_3 \left( R_1 + R_2 \right)}$$

skąd po podstawieniu wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń, dostaniemy wartość U  równą:

$$U = \frac{100 \hspace{.05cm} \textrm{V} \cdot 5 \hspace{.05cm} \Omega \cdot 10 \hspace{.05cm} \Omega}{5 \hspace{.05cm} \Omega \cdot 10 \hspace{.05cm} \Omega + 10 \hspace{.05cm} \Omega \cdot \left( 5 \hspace{.05cm} \Omega + 10 \hspace{.05cm} \Omega \right)} = 25 \hspace{.05cm} \textrm{V}$$

Może to Cię również zainteresuje:

Oceń artykuł:

NieprzydatnySłabyPrzeciętnyPrzydatnyBardzo przydatny (1 ocen(-a), średnia ocena: 5,00 na 5)
Loading...

Tagi:

Dodaj komentarz

Pole wymagane
Pole wymagane (e-mail nie będzie widoczny)
Pole wymagane