Potencjał elektryczny – zadanie nr 5

Wyznacz potencjał kuli, jeżeli wiadomo, że w odległości L  = 10 m od jej powierzchni potencjał pola elektrycznego wynosi 20 V. Promień kuli R_k  = 10 cm.

Potencjał V  pola elektrycznego opisuje poniższe równanie:

$$V = k \hspace{.05cm} \frac{q}{r}$$

gdzie:
k  – stała elektrostatyczna równa 9 ⋅ 10⁹ (N ⋅ m²)/C²,
q  – ładunek elektryczny,
r  – odległość od ładunku do punktu, w którym chcemy obliczyć potencjał pola elektrycznego.

W przypadku kuli i obiektów sferycznych ładunek q  zgromadzony jest na ich powierzchni, wobec czego potencjał V_k  kuli wynosi:

$$V_k = k \hspace{.05cm} \frac{q_k}{R_k}$$

gdzie:
q_k  – ładunek zgromadzony na powierzchni kuli,
R_k  – promień kuli.

Aby wyznaczyć ładunek q_k  skorzystamy z faktu, że potencjał pola elektrycznego V_L  w odległości L  = 10 m od powierzchni kuli wynosi V_L  = 20 V. Mamy:

$$V_L = k \hspace{.05cm} \frac{q_k}{L}$$

skąd po przekształceniu względem ładunku q_k , dostaniemy:

$$q_k = \frac{V_L \hspace{.05cm} L}{k}$$

Po podstawieniu powyższego równania do wzoru na V_k , otrzymamy:

$$V_k = k \hspace{.05cm} \frac{q_k}{R_k} = \frac{k}{R_k} \cdot \frac{V_L \hspace{.05cm} L}{k} = \frac{V_L \hspace{.05cm} L}{R_k}$$

i w konsekwencji:

$$V_k = \frac{20 \hspace{.05cm} \textrm{V} \cdot 10 \hspace{.05cm} \textrm{m}}{0,\hspace{-.1cm}1 \hspace{.05cm} \textrm{m}} = 2000 \hspace{.05cm} \textrm{V}$$