Potencjał elektryczny – zadanie nr 6

Dwie przewodzące kule o promieniach R₁  oraz R₂  naładowano do potencjałów elektrycznych V₁  i V₂ . Kule to połączono następnie cienkim przewodem o bardzo małej pojemności. Oblicz gęstość powierzchniową ładunku zgromadzonego na kulach.

Gęstością powierzchniową ładunku σ  nazywamy ładunek q  zgromadzony na powierzchni S  ciała:

$$\sigma = \frac{q}{S}$$

W przypadku kuli powierzchnia S  wynosi  $4 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} R^2$, gdzie R  to promień kuli. Promienie obydwu kul są znane. Ładunki zgromadzone na ich powierzchniach musimy znaleźć.

Na początku wyznaczmy ładunek pierwszej oraz drugiej kuli przed połączeniem ich powierzchni za pomocą cienkiego przewodu. Wiemy, że początkowo potencjał pierwszej kuli wynosił V₁  = 20 V, a potencjał drugiej: V₂  = 10 V. Przekształcając wzór na potencjał pola elektrycznego:

$$V = k \hspace{.05cm} \frac{q}{r}$$

gdzie:
k  – stała elektrostatyczna równa 9 ⋅ 10⁹ (N ⋅ m²)/C²,
q  – ładunek elektryczny,
r  – odległość od ładunku do punktu, w którym chcemy obliczyć potencjał pola elektrycznego,

względem ładunku, dostaniemy wyrażenie na ładunek elektryczny zgromadzony na pierwszej oraz drugiej kuli:

$$q_1 = \frac{V_1 \hspace{.05cm} R_1}{k} \hspace{1cm} , \hspace{1cm} q_2 = \frac{V_2 \hspace{.05cm} R_2}{k}$$

Efektem połączenia powierzchni kul cienkim przewodem o bardzo małej pojemności będzie przepływ ładunku między kulami zachodzący dopóty, dopóki potencjał elektryczny obydwu kul nie ulegnie wyrównaniu. Przy założeniu, że ładunek pierwszej oraz drugiej kuli (po połączeniu ich przewodem) zmieni się o wielkość  $\Delta \hspace{.03cm}q$, dostaniemy:

$$q’_1 = q_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.05cm} \Delta \hspace{.03cm} q$$

oraz:

$$q’_2 = q_2 + \Delta \hspace{.03cm} q$$

(skorzystaliśmy z zasady zachowania ładunku, zgodnie z którą w układzie izolowanym całkowity ładunek układu ciał nie ulega zmianie)

Z warunku równości potencjałów kul, otrzymamy:

$$V’_1 = V’_2 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} k \hspace{.05cm} \frac{q’_1}{R_1} = k \hspace{.05cm} \frac{q’_2}{R_2} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} q’_1 = \frac{R_1}{R_2} \hspace{.05cm} q’_2$$

Aby dowiedzieć się ile wynosi wartość  $ \Delta \hspace{.03cm} q$, przekształćmy równanie  $q’_1 = q_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.05cm} \Delta \hspace{.03cm} q$  względem  $ \Delta \hspace{.03cm} q$:

$$\Delta \hspace{.03cm} q = q_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.05cm} q’_1 = q_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.05cm} \frac{R_1}{R_2} \hspace{.05cm} q’_2 = q_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.05cm} \frac{R_1}{R_2} \hspace{.05cm} \left( q_2 + \Delta \hspace{.03cm} q \right)$$

Po pogrupowaniu wyrazów podobnych, uzyskamy:

$$\Delta \hspace{.03cm} q = \frac{q_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.05cm} \dfrac{R_1}{R_2} \hspace{.05cm} q_2}{1 + \dfrac{R_1}{R_2}} = \frac{\dfrac{V_1 \hspace{.05cm} R_1}{k} \hspace{.1cm} – \hspace{.05cm} \dfrac{R_1}{R_2} \cdot \dfrac{V_2 \hspace{.05cm} R_2}{k}}{1 + \dfrac{R_1}{R_2}} = \frac{R_1 \hspace{.05cm} R_2 \left( V_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.05cm} V_2 \right)}{k \left( R_1 + R_2 \right)}$$

W związku z powyższym ładunek  $q’_1$  i  $q’_2$  wynosi:

$$q’_1 = q_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.05cm} \Delta \hspace{.03cm} q = \frac{V_1 \hspace{.05cm} R_1}{k} \hspace{.1cm} – \hspace{.05cm} \frac{R_1 \hspace{.05cm} R_2 \left( V_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.05cm} V_2 \right)}{k \left( R_1 + R_2 \right)} = \frac{R_1 \left( V_1 \hspace{.05cm} R_1 + V_2 \hspace{.05cm} R_2 \right)}{k \left( R_1 + R_2 \right)}$$

$$q’_2 = q_2 + \Delta \hspace{.03cm} q = \frac{V_2 \hspace{.05cm} R_2}{k} + \frac{R_1 \hspace{.05cm} R_2 \left( V_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.05cm} V_2 \right)}{k \left( R_1 + R_2 \right)} = \frac{R_2 \left( V_1 \hspace{.05cm} R_1 + V_2 \hspace{.05cm} R_2 \right)}{k \left( R_1 + R_2 \right)}$$

Gęstość powierzchniowa pierwszej kuli będzie więc równa:

$$\sigma_1 = \frac{q’_1}{S_1} = \frac{R_1 \left( V_1 \hspace{.05cm} R_1 + V_2 \hspace{.05cm} R_2 \right)}{4 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} R_1^2 \hspace{.1cm} k \left( R_1 + R_2 \right)} = \frac{V_1 \hspace{.05cm} R_1 + V_2 \hspace{.05cm} R_2}{4 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} R_1 \hspace{.1cm} k \left( R_1 + R_2 \right)}$$

a kuli drugiej:

$$\sigma_2 = \frac{q’_2}{S_2} = \frac{R_2 \left( V_1 \hspace{.05cm} R_1 + V_2 \hspace{.05cm} R_2 \right)}{4 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} R_2^2 \hspace{.1cm} k \left( R_1 + R_2 \right)} = \frac{V_1 \hspace{.05cm} R_1 + V_2 \hspace{.05cm} R_2}{4 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} R_2 \hspace{.1cm} k \left( R_1 + R_2 \right)}$$