Potencjał elektryczny – zadanie nr 3

Jak zmieni się potencjał kropelki wody o promieniu r  naładowanej ładunkiem q, jeżeli wskutek parowania, nie zmieniając ładunku, zmniejsza ona dziesięciokrotnie swoją objętość?

(Zadanie ze zbioru: K. Chyła Zbiór prostych zadań z fizyki dla uczniów szkół średnich)

Sposób w jaki rozwiążemy to zadanie jest bardzo podobny do tego jaki zastosowaliśmy w zadaniu Potencjał elektryczny – zadanie nr 2. Na początku zapiszmy wyrażenie na potencjał elektryczny V₁  kropli przed procesem parowania oraz potencjał V₂  kropli po procesie parowania. Dostaniemy:

$$V_1 = k \hspace{.05cm} \frac{q}{r_1}$$

oraz:

$$V_2 = k \hspace{.05cm} \frac{q}{r_2}$$

(ładunek q  w obydwu przypadkach jest taki sam, ponieważ wiemy, że przed i po parowaniu nie uległ on zmianie)

Następnie powiążmy promień r₁  z promieniem r₂. Korzystając ze wzoru na objętość kuli – $V = \frac{4}{3} \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} r^3$ – otrzymamy (potencjał elektryczny i objętość oznaczane są dużą literą V, dlatego celem rozróżnienia we wzorach na objętość stosujemy indeks dolny obj ):

$$V_{1 obj} = \tfrac{4}{3} \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} r_1^3 \hspace{1cm} , \hspace{1cm} V_{2 obj} = \tfrac{4}{3} \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} r_2^3$$

Wiemy, że V_2obj = 1/10 V_1obj, dlatego:

$$\tfrac{4}{3} \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} r_2^3 = \tfrac{1}{10} \cdot \tfrac{4}{3} \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} r_1^3 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} r_2 = \sqrt[3]{\tfrac{1}{10}} \hspace{.15cm} r_1$$

Po wstawieniu wyrażenia $r_2 = \sqrt[3]{\frac{1}{10}} \hspace{.1cm} r_1$ do wzoru na potencjał V₂, dostaniemy:

$$V_2 = k \hspace{.05cm} \frac{q}{r_2} = k \hspace{.05cm} \frac{q}{\sqrt[3]{\tfrac{1}{10}} \hspace{.15cm} r_1} = \sqrt[3]{\mathstrut 10} \hspace{.15cm} V_1$$