Potencjał elektryczny – zadanie nr 2

Mamy n  = 64 kropelki rtęci o ładunku q  każda, które łączymy w jedną. Jak zmieni się potencjał po połączeniu kropelek?

(Zadanie ze zbioru: K. Chyła Zbiór prostych zadań z fizyki dla uczniów szkół średnich)

Potencjał elektryczny ładunku punktowego, którego przykładem jest kropelka rtęci, możemy obliczyć korzystając z poniższego wzoru:

$$V = k \hspace{.05cm} \frac{q}{r}$$

gdzie:
k  – stała elektrostatyczna,
q  – ładunek elektryczny,
r  – odległość od środka ładunku punktowego do punktu, w którym chcemy obliczyć potencjał elektryczny.

Załóżmy, że punkt, w którym chcemy obliczyć potencjał elektryczny kropli znajduje się, podobnie jak i jej ładunek q, na powierzchni kropli. W takim wypadku odległość r  dzieląca środek kropli od punktu na jej powierzchni odpowiada promieniowi kropli. Oznaczając ten promień jako r₁  dostaniemy potencjał kropli rtęci równy:

$$V_1 = k \hspace{.05cm} \frac{q}{r_1}$$

Po połączeniu wszystkich 64 kropel otrzymamy jedną dużą kroplę o promieniu r₂  i ładunku 64 q, której potencjał będzie wynosić:

$$V_2 = k \hspace{.05cm} \frac{64 \hspace{.05cm} q}{r_2}$$

Aby powiązać ze sobą te dwa potencjały musimy znaleźć wyrażenie łączące promień r₁  małej kropli z promieniem r₂  dużej kropli. Jeżeli założymy, że mała oraz duża kropla jest kulą o promieniu r₁  oraz r₂, wówczas promienie te będziemy mogli powiązać w oparciu o wyrażenie na objętość kuli: $V_{obj} = \frac{4}{3} \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} r^3$ (potencjał elektryczny i objętość oznaczane są za pomocą dużej litery V, dlatego dla czytelności we wzorach na objętość kuli stosujemy indeks dolny obj ). Objętość małej kuli wynosi wobec tego:

$$V_{1 obj} = \tfrac{4}{3} \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} r_1^3$$

a objętość dużej kuli jest równa:

$$V_{2 obj} = \tfrac{4}{3} \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} r_2^3$$

Dużą kroplę utworzono z 64-ciu kropel, dlatego jej objętość musi być 64 razy większa od objętości pojedynczej kropli: V₂  = 64 V₁. Dostaniemy więc:

$$\tfrac{4}{3} \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} r_2^3 = 64 \cdot \tfrac{4}{3} \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} r_1^3 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} r_2 = 4 \hspace{.05cm} r_1$$

Podstawiając następnie wyrażenie r₂  = 4 r₁  do wzoru na potencjał V₂  dużej kuli, dostaniemy:

$$V_2 = k \hspace{.05cm} \frac{64 \hspace{.05cm} q}{r_2} = k \hspace{.05cm} \frac{64 \hspace{.05cm} q}{4 \hspace{.05cm} r_1} = 16 \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} \frac{q}{r_1} = 16 \hspace{.05cm} V_1$$