Potencjał elektryczny – zadanie nr 1

Dwie metalowe kule o promieniu 3 cm mają ładunki równe + 1,0 ⋅ 10^-8 C i – 3,0 ⋅ 10^-8 C. Zakładamy, że ładunki te są rozłożone równomiernie w całej kuli. Oblicz:

a) potencjał w punkcie znajdującym się w połowie odległości między środkami kul,
b) potencjał każdej kuli.

Odległość między środkami kul wynosi 2 m.

Przypadek a)

Zapiszmy na początku ogólny wzór pozwalający obliczyć wartość potencjału elektrycznego V  wytwarzanego przez naładowaną cząstkę (nazywaną również ładunkiem punktowym):

$$V = \frac{1}{4 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \varepsilon_0} \hspace{.05cm} \frac{q}{r} = k \hspace{.05cm} \frac{q}{r}$$

gdzie:
k  – stała elektrostatyczna równa 9 ∙ 10⁹ N ∙ m²/C²,
q  – ładunek elektryczny cząstki,
r  – odległość od środka cząstki do punktu, w którym chcemy obliczyć wartość potencjału elektrycznego.

Potencjał elektryczny w przeciwieństwie do natężenia pola elektrycznego jest wielkością skalarną, a nie wektorową, dlatego też przy obliczaniu wypadkowego potencjału elektrycznego układu wielu cząstek w pewnym punkcie musimy uwzględniać jedynie wartość ładunku każdej z cząstek oraz jej odległość od punktu, w którym chcemy obliczyć wypadkową wartość potencjału elektrycznego.

Potencjał w punkcie znajdującym się w połowie odległości pomiędzy środkami obydwu naładowanych elektrycznie metalowych kul obliczymy korzystając z następującego wzoru (dla przypomnienia: suma potencjałów w poniższym wyrażeniu jest sumą algebraiczną, a nie wektorową):

$$V = V_1 + V_2 = k \hspace{.05cm} \frac{q_1}{\tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} r} + k \hspace{.05cm} \frac{q_2}{\tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} r}$$

gdzie:
q₁  – ładunek pierwszej kuli równy + 1 ⋅ 10^-8 C,
q₂  – ładunek drugiej kuli równy -3 ⋅ 10^-8 C,
1/2 r  – odległość pomiędzy środkiem każdej z kul, a punktem leżącym w połowie odległości pomiędzy ich środkami (r  = 2 m, a więc 1/2 r  = 1 m).

Powyższe równanie możemy sprowadzić do poniższej postaci:

$$V = \frac{2 \hspace{.05cm} k}{r} \left( q_1 + q_2 \right)$$

skąd po podstawieniu wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń, dostaniemy:

$$V = \frac{2 \cdot 9 \cdot 10^9 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{N} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} \textrm{m}^2}{\textrm{C}^2}}{2 \hspace{.05cm} \textrm{m}} \cdot \left( 1 \cdot 10^{-8} \hspace{.05cm} \textrm{C} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 3 \cdot 10^{-8} \hspace{.05cm} \textrm{C} \right) = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 180 \hspace{.05cm} \textrm{V}$$

Przypadek b)

Aby obliczyć potencjał pierwszej oraz drugiej kuli skorzystamy z faktu, że w przypadku obiektów sferycznych, czyli takich jak kula, całkowity ładunek elektryczny zgromadzony jest na powierzchni takich obiektów, czyli tak jak przedstawia to poniższy rysunek:

Korzystając z podanego wyżej faktu możemy przystąpić do obliczenia potencjału każdej z kul, wstawiając w miejsce r  we wzorze na potencjał, promień r  kuli. Całkowity ładunek zgromadzony na powierzchni pierwszej oraz drugiej kuli odpowiada ładunkowi podanemu w treści zadania, zatem po podstawieniu tych wartości do wzoru na potencjał elektryczny ładunku punktowego, dostaniemy:

$$V_1 = k \hspace{.05cm} \frac{q_1}{r} = 9 \cdot 10^9 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{N} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} \textrm{m}^2}{\textrm{C}^2} \cdot \frac{1 \cdot 10^{-8} \hspace{.05cm} \textrm{C}}{0,\hspace{-.1cm}03 \hspace{.05cm} \textrm{m}} = 3000 \hspace{.05cm} \textrm{V}$$

oraz:

$$V_2 = k \hspace{.05cm} \frac{q_2}{r} = 9 \cdot 10^9 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{N} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} \textrm{m}^2}{\textrm{C}^2} \cdot \frac{\hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 3 \cdot 10^{-8} \hspace{.05cm} \textrm{C}}{0,\hspace{-.1cm}03 \hspace{.05cm} \textrm{m}} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 9000 \hspace{.05cm} \textrm{V}$$