Opór elektryczny – zadanie nr 3

Jak zmieni się opór kawałka drutu, jeżeli przy zachowanej masie jego średnicę d  zmniejszymy dwa razy?

(Zadanie ze zbioru: K. Chyła Zbiór prostych zadań z fizyki dla uczniów szkół średnich)

Opór elektryczny R  kawałka drutu przed i po zmniejszeniu jego średnicy d  obliczymy korzystając z poniższego wzoru:

$$R = \rho \hspace{.05cm} \frac{l}{S}$$

gdzie:
ρ  – opór właściwy drutu,
l  – długość drutu,
S  – pole przekroju poprzecznego drutu.

Jeżeli kawałek drutu potraktujemy jako walec o długości l  i polu podstawy S  (równej polu okręgu), wówczas jego przekrój poprzeczny będzie równy $S = \pi \hspace{.05cm} r^2$, gdzie r  to promień drutu. Korzystając z tego założenia możemy wyrazić opór R  drutu przed zmniejszeniem jego średnicy jako:

$$R_1 = \rho \hspace{.05cm} \frac{l_1}{S_1} = \rho \hspace{.05cm} \frac{l_1}{\pi \hspace{.05cm} r_1^2}$$

a po dwukrotnym zmniejszeniu jego średnicy jako (dwukrotne zmniejszenie średnicy spowoduje dwukrotne zmniejszenie promienia):

$$R_2 = \rho \hspace{.05cm} \frac{l_2}{S_2} = \rho \hspace{.05cm} \frac{l_2}{\pi \hspace{.05cm} r_2^2} = \rho \hspace{.05cm} \frac{l_2}{\pi \hspace{.05cm} \left( \frac{r_1}{2} \right)^2} = \rho \hspace{.05cm} \frac{4 \hspace{.05cm} l_2}{\pi \hspace{.05cm} r_1^2}$$

(z treści zadania nie wynika, że długość drutu wskutek zmniejszenia jego średnicy pozostaje stała, dlatego nie możemy założyć, że l₁  = l₂ )

Aby dowiedzieć się ile wynosi długość l₂  drutu skorzystamy z informacji podanej w treści zadania, zgodnie z którą masa drutu przed i po zmniejszeniu jego średnicy pozostaje zachowana (przyjmuje stałą wartość). Masę m  drutu możemy wyrazić w oparciu o jego gęstość ρ_d  i objętość V, która w naszym przypadku, zgodnie z wcześniejszym założeniem, odpowiada objętości walca $V = \pi \hspace{.05cm} r^2 \hspace{.05cm} l$. Przed zmniejszeniem średnicy drutu jego masa m  była równa:

$$m = \rho_d \hspace{.05cm} V_1 = \rho_d \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} r_1^2 \hspace{.05cm} l_1$$

a po zmniejszeniu średnicy:

$$m = \rho_d \hspace{.05cm} V_2 = \rho_d \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} r_2^2 \hspace{.05cm} l_2 = \rho_d \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \tfrac{r_1^2}{4} \hspace{.05cm} l_2$$

Przyrównując stronami dwa powyższe równania oraz skracając wyrazy podobne, dostaniemy długość l₂  drutu równą:

$$\rho_d \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} r_1^2 \hspace{.05cm} l_1 = \rho_d \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \tfrac{r_1^2}{4} \hspace{.05cm} l_2 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} l_2 = 4 \hspace{.05cm} l_1$$

Wiedząc ile wynosi długość l₂  drutu możemy podstawić ją do wzoru na R₂ :

$$R_2 = \rho \hspace{.05cm} \frac{4 \hspace{.05cm} l_2}{\pi \hspace{.05cm} r_1^2} = 16 \hspace{.05cm} \rho \hspace{.05cm} \frac{l_1}{\pi \hspace{.05cm} r_1^2}$$

Ponieważ $R_1 = \rho \hspace{.05cm} \dfrac{l_1}{\pi \hspace{.05cm} r_1^2}$, dlatego:

$$R_2 = 16 \hspace{.05cm} R_1$$

Powyższy wynik oznacza, że opór R₂  drutu po dwukrotnym zmniejszeniu jego średnicy wzrósł szesnastokrotnie.