Opór elektryczny – zadanie nr 2

Ile metrów przewodnika z chromonikieliny o oporze właściwym ρ  = 9,8 ⋅ 10^-7 Ω ⋅ m i średnicy 2 r  = 0,5 mm musimy użyć do wykonania grzałki o mocy P  = 250 W, pracującej pod napięciem U  = 220 V?

(Zadanie ze zbioru: K. Chyła Zbiór prostych zadań z fizyki dla uczniów szkół średnich)

Aby obliczyć długość l  przewodnika musimy znać wartość oporu elektrycznego R  grzałki. Zgodnie z poniższym wzorem pomiędzy oporem R  przewodnika a jego długością l  zachodzi następująca relacja:

$$R = \rho \hspace{.05cm} \frac{l}{S}$$

Wartość oporu elektrycznego grzałki możemy wyznaczyć w oparciu o jej (zakładaną) moc P  oraz napięcie U, które będzie zasilać tą grzałkę. Moc wykonaną przez prąd elektryczny możemy obliczyć stosując następujący wzór:

$$P = U \hspace{.05cm} I$$

Wartość natężenia prądu I, przepływającego przez grzałkę, nie jest podana w treści zadania. Możemy ją jednak powiązać z napięciem U  oraz oporem elektrycznym R :

$$R = \frac{U}{I} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} I = \frac{U}{R}$$

zatem:

$$P = U \hspace{.05cm} I = U \cdot \frac{U}{R} = \frac{U^2}{R}$$

Po przekształceniu powyższego wzoru względem oporu R, dostaniemy:

$$R = \frac{U^2}{P}$$

Znając wartość oporu R  grzałki możemy przyrównać stronami obydwa wyrażenia na opór elektryczny: $R = \rho \hspace{.05cm} \frac{l}{S}$  oraz  $R = \frac{U^2}{P}$, otrzymując w konsekwencji wzór pozwalający obliczyć długość l  przewodnika:

$$\rho \hspace{.05cm} \frac{l}{S} = \frac{U^2}{P} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} l = \frac{U^2 \hspace{.05cm} S}{\rho \hspace{.05cm} P}$$

Wartość napięcia, mocy oraz oporu właściwego podano w treści zadania. Pole przekroju poprzecznego S  przewodnika możemy obliczyć w oparciu o jego średnicę d  = 2 r. Jeżeli potraktujemy przewodnik jako walec o długości l  i polu podstawy S, wówczas pole przekroju S  przewodnika będzie równe polu podstawy walca tj. polu okręgu o promieniu r :  $S = \pi \hspace{.05cm} r^2$  (2 r  = 0,5 mm, dlatego r  = 0,25 mm). Po podstawieniu tego wzoru do równania na l  otrzymamy:

$$l = \frac{U^2 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} r^2}{\rho \hspace{.05cm} P} = \frac{\left( 220 \hspace{.05cm} \textrm{V} \right)^2 \cdot 3,\hspace{-.1cm}14 \cdot \left( 0,\hspace{-.1cm}25 \cdot 10^{-3} \hspace{.05cm} \textrm{m} \right)^2}{9,\hspace{-.1cm}8 \cdot 10^{-7} \hspace{.05cm} \Omega \cdot \textrm{m} \cdot 250 \hspace{.05cm} \textrm{W}} = 38,\hspace{-.1cm}8 \hspace{.05cm} \textrm{m}$$