Opór elektryczny – zadanie nr 1

Mamy prostopadłościan wykonany z przewodnika o krawędziach a, b  i c. Oblicz stosunek oporu, jaki będzie stawiał prostopadłościan prądowi płynącemu wzdłuż osi I do oporu liczonego wzdłuż osi II.

(Zadanie ze zbioru: K. Chyła Zbiór prostych zadań z fizyki dla uczniów szkół średnich)

Aby obliczyć stosunek oporu elektrycznego przy przepływie prądu wzdłuż osi I oraz II prostopadłościanu, skorzystamy z poniższego wzoru:

$$R = \rho \hspace{.05cm} \frac{l}{S}$$

gdzie:
ρ  – opór właściwy przewodnika,
l  – długość przewodnika,
S  – pole przekroju poprzecznego przewodnika.

Równanie to pozwoli nam wyrazić opór elektryczny R  w oparciu o wymiary prostopadłościanu zaznaczone na powyższym rysunku. Gdy prąd przepływa wzdłuż osi I prostopadłościanu, długości l  w powyższym wzorze odpowiada długość jego najdłuższego boku równa c, z kolei przekrój wynosi S  = a  ⋅ b  (pole przekroju odpowiada polu prostokąta o bokach a  i b). W przypadku, gdy prąd przepływa wzdłuż osi II: l  = a , a pole przekroju S  = b  ⋅ c. Po podstawieniu tych wielkości do wzoru $R = \rho \hspace{.05cm} \frac{l}{S}$ oraz założeniu, że opór właściwy ρ  ma taką samą wartość przy przepływie prądu wzdłuż osi I oraz II prostopadłościanu, dostaniemy:

– dla osi I:

$$R_I = \rho \hspace{.05cm} \frac{l_I}{S_I} = \rho \hspace{.05cm} \frac{c}{a \hspace{.1cm} b}$$

– dla osi II:

$$R_{II} = \rho \hspace{.05cm} \frac{l_{II}}{S_{II}} = \rho \hspace{.05cm} \frac{a}{b \hspace{.1cm} c}$$

Szukany stosunek R_I  / R_II  wynosi zatem:

$$\frac{R_I}{R_{II}} = \frac{\rho \hspace{.05cm} \dfrac{c}{a \hspace{.1cm} b}}{\rho \hspace{.05cm} \dfrac{a}{b \hspace{.1cm} c}} = \frac{c \cdot b \cdot c}{a \cdot b \cdot a} = \frac{c^2}{a^2}$$