Natężenie pola elektrycznego – zadanie nr 7

Oblicz natężenie pola elektrostatycznego w punkcie P, pochodzącego od układu ładunków pokazanego na poniższym rysunku:

(Zadanie ze zbioru: K. Chyła Zbiór prostych zadań z fizyki dla uczniów szkół średnich)

Zacznijmy od narysowania wektorów natężenia pola elektrostatycznego pochodzących od ładunków + q  i – q  (dla czytelności początki tych wektorów umieściliśmy w punkcie P):

Wektor $\vec{E}_1$ pochodzący od ładunku dodatniego + q  skierowany jest od niego, z kolei wektor $\vec{E}_2$ pochodzący od ładunku ujemnego – q  skierowany jest do niego. Aby wyznaczyć wartość wypadkowego wektora natężenia pola elektrostatycznego pochodzącego od wektorów $\vec{E}_1$  i  $\vec{E}_2$ dokonamy rozkładu tych dwóch wektorów na składowe x  oraz y. Dostaniemy wówczas (dla czytelności składowe E_1x  i E_2x  rozsunięto od siebie):

Ponieważ wartość ładunków jest jednakowa, odległość dzieląca obydwa ładunki od punktu P przyjmuje taką samą wartość, a obydwa wektory nachylone są pod takim samym kątem względem punktu P, dlatego też składowe x  i y  wektorów $\vec{E}_1$  i  $\vec{E}_2$ są sobie równe: E_1x  = E_2x , E_1y  = E_2y .

Zgodnie z powyższym rysunkiem składowe E_1y  i E_2y  mają przeciwne zwroty, w związku z czym ich suma jest równa zero. Składowe E_1x  i E_2x  są zwrócone w tym samym kierunku i to właśnie ich suma pozwoli nam obliczyć wartość wypadkowego natężenia pola w punkcie P:

$$E_{wyp} = E_{1x} + E_{2x} = E_1 \hspace{.05cm} \textrm{cos} \hspace{.05cm} \alpha + E_2 \hspace{.05cm} \textrm{cos} \hspace{.05cm} \alpha = 2 \hspace{.05cm} E_1 \hspace{.05cm} \textrm{cos} \hspace{.05cm} \alpha$$

gdzie α  to kąt zawarty pomiędzy wektorami, a ich składowymi (obydwa wektory nachylone są pod takim samym kątem).

Wartość kąta α  nie jest podana w treści zadania, jednak możemy ją z łatwością wyznaczyć. Zauważ, że układ tworzony przez ładunki + q  i – q  oraz punkt P odpowiada trójkątowi równobocznemu, w którym każdy z kątów zawartych pomiędzy jego dwoma bokami jest równy 60^o. Ponieważ wektory $\vec{E}_1$  i  $\vec{E}_2$ są „przedłużeniami” boków tego trójkąta, zatem kąt α  musi być także równy 60^o.

Gdy w miejsce E₁  w powyższym wzorze wstawimy wartość tego wektora równą $E = \dfrac{k \hspace{.05cm} q}{a^2} = \dfrac{q}{4 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \varepsilon_0 \hspace{.05cm} a^2}$, a w miejsce kąta α  = 60^o dostaniemy wartość wypadkowego natężenia pola w punkcie P równą:

$$E_{wyp} = 2 \cdot \frac{q}{4 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \varepsilon_0 \hspace{.05cm} a^2} \cdot \textrm{cos} \hspace{.05cm} 60^o = 2 \cdot \frac{q}{4 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \varepsilon_0 \hspace{.05cm} a^2} \cdot \tfrac{1}{2} = \frac{q}{4 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \varepsilon_0 \hspace{.05cm} a^2}$$