Elektryczna energia potencjalna – zadanie nr 2

Dwa ładunki punktowe q₁ = 3 ⋅ 10^-4 C i q₂ = -5 ⋅ 10^-4 C umieszczono w odległości r₁ = 0,6 m. Oblicz pracę jaką należy wykonać, aby zwiększyć ich odległość do r₂ = 1,4 m.

Praca W  jaką należy wykonać, aby przemieścić ładunek q₁ względem ładunku q₂, równa się, ze znakiem minus, zmianie elektrycznej energii potencjalnej ΔE_p układu tych dwóch ładunków:

$$W = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \Delta \hspace{.02cm} E_p$$

Zgodnie z treścią zadania interesuje nas wartość pracy W  koniecznej do wykonania, aby początkową odległość pomiędzy ładunkami równą r₁ = 0,6 m zwiększyć do r₂ = 1,4 m. Gdy ładunki q₁ i q₂ znajdują się od siebie w odległości r₁, ich elektryczna energia potencjalna E_p1 wynosi:

$$E_{p1} = k \hspace{.05cm} \frac{q_1 \hspace{.05cm} q_2}{r_1}$$

Gdy odległość wynosi r₂, energia potencjalna E_p2 jest równa:

$$E_{p2} = k \hspace{.05cm} \frac{q_1 \hspace{.05cm} q_2}{r_2}$$

Znając elektryczną energię potencjalną przed oraz po zmianie odległości pomiędzy ładunkami, możemy obliczyć zmianę ich energii potencjalnej ΔE_p = E_p2 – E_p1:

$$\Delta E_p \hspace{.02cm} = E_{p2} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} E_{p1} = k \hspace{.05cm} \frac{q_1 \hspace{.05cm} q_2}{r_2} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} k \hspace{.05cm} \frac{q_1 \hspace{.05cm} q_2}{r_1} = k \hspace{.05cm} q_1 \hspace{.05cm} q_2 \left( \frac{1}{r_2} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{r_1} \right)$$

Zgodnie ze wzorem przedstawionym na wstępie zadania, praca wynosi W  = – ΔE_p , dlatego:

$$W = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \Delta \hspace{.02cm} E_p = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} k \hspace{.05cm} q_1 \hspace{.05cm} q_2 \left( \frac{1}{r_2} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{r_1} \right) = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{q_1 \hspace{.05cm} q_2}{4 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \varepsilon_0} \left( \frac{1}{r_2} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{r_1} \right)$$

gdzie w miejsce stałej elektrostatycznej k wstawiliśmy wyrażenie $\frac{1}{4 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \varepsilon_0}$ (ε₀ to przenikalność elektryczna próżni równa 8,85 ∙ 10^-12 C²/(N ∙ m²)).

Po podstawieniu do powyższego wzoru wartości liczbowych podanych w treści zadania oraz wykonaniu obliczeń, dostaniemy wartość pracy W, równą:

$$W = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{3 \cdot 10^{-4} \hspace{.05cm} \textrm{C} \cdot \left( \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 5 \right) \cdot 10^{-4} \hspace{.05cm} \textrm{C}}{4 \cdot 3,\hspace{-.1cm}14 \cdot 8,\hspace{-.1cm}85 \cdot 10^{-12} \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{C}^2}{\textrm{N} \hspace{.05cm} \cdot \hspace{.05cm} \textrm{m}^2}} \cdot \left( \frac{1}{1,\hspace{-.1cm}4 \hspace{.05cm} \textrm{m}} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{1}{0,\hspace{-.1cm}6 \hspace{.05cm} \textrm{m}} \right) = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1285 \hspace{.05cm} \textrm{J}$$