Prawa Kirchhoffa

Elektryczność i magnetyzm - teoria
4 komentarze
Drukuj

Prawa Kirchhoffa, sformułowane przez niemieckiego fizyka Gustawa Kirchhoffa (1824-1887) w 1847 roku, stanowią narzędzie do analizowania zarówno prostych, jak i bardzo złożonych obwodów elektrycznych. Prawa te umożliwiają wyznaczanie wartości i kierunku prądów przepływających przez obwód elektryczny, a także i różnicy potencjałów (napięcia) pomiędzy wybraną parą punktów w obwodzie.

Pierwsze prawo Kirchhoffa – definicja

Pierwsze prawo Kirchhoffa
Suma natężeń prądów wpływających do dowolnego węzła w obwodzie elektrycznym równa się sumie natężeń prądów wypływających z tego węzła.

Pierwsze prawo Kirchhoffa to prawo wynikające z zasady zachowania ładunku, zgodnie z którym w izolowanym układzie – w naszym przypadku w obwodzie elektrycznym – całkowity ładunek nie ulega zmianie (pozostaje stały).

Pierwsze prawo Kirchhoffa – zastosowanie

Aby pokazać w jaki sposób należy prawidłowo stosować pierwsze prawo Kirchhoffa posłużymy się prostym przykładem. Na poniższym rysunku przedstawiono obwód elektryczny składający się z doskonałego źródła siły elektromotorycznej oraz dwóch rezystorów o oporach R1  i R2.

prosty obwód elektryczny - rysunek schematyczny - pierwsze prawo Kirchhoffa - prawa Kirchhoffa
Prosty obwód elektryczny składający się z dwóch węzłów (punkty B i D), trzech gałęzi łączących węzły – lewej (BAD), środkowej (BD) i prawej (BCD) oraz trzech oczek stanowiących połączenie gałęzi tworzących zamknięty obwód – lewego (BADB), prawego (BCDB) i dużego oczka (ABCDA).

Prąd o natężeniu I  pochodzący ze źródła SEM ma jednakową wartość w lewej gałęzi (BAD), prąd o natężeniu I1  – w środkowej gałęzi (BD), z kolei prąd I2  – w gałęzi prawej (BCD). Skupmy na chwilę uwagę na węźle B: ładunek elektryczny wpływa do tego węzła ze źródła SEM wraz z prądem o natężeniu I, a wypływa z prądami I1  oraz I2, przepływającymi odpowiednio przez opornik R1  i R2. Całkowity ładunek w węźle B nie ulega zmianie, zatem zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa suma natężeń prądów wpływających do tego węzła musi być równa sumie prądów wypływających z tego węzła, co możemy zapisać jako:

$$I = I_1 + I_2$$

Dokładnie takie samo wyrażenie, jak powyższe dla węzła B, dostaniemy dla węzła D. Do węzła D wpływają prądy o natężeniach I1  i I2 , a wypływa prąd o natężeniu I  będący sumą tych dwóch prądów:

$$I_1 + I_2 = I$$

Aby obliczyć ile wynoszą wartości tych prądów skorzystamy z drugiego prawa Kirchhoffa.

Drugie prawo Kirchhoffa – definicja

Drugie prawo Kirchhoffa
Algebraiczna suma zmian potencjałów w zamkniętym obwodzie elektrycznym równa się zero.

Drugie prawo Kirchhoffa to prawo wynikające z zasady zachowania energii, zgodnie z którą w układzie izolowanym, czyli w układzie na który nie działają żadne siły zewnętrzne, całkowita energia nie ulega zmianie. Odwołując się do rysunku powyżej, możemy stwierdzić, że energia elektryczna wytwarzana przez doskonałe źródło SEM ulega zamianie na energię termiczną rezystora o oporze R1  i R2  (zakładamy, że przewody mają zerową rezystancję). Całkowita energia tego układu nie ulega jednak zmianie, zatem w obwodzie tym spełniona jest zasada zachowania energii.

Drugie prawo Kirchhoffa – zastosowanie

Zajmijmy się teraz praktycznym zastosowaniem drugiego prawa Kirchhoffa tj. wyznaczeniem natężeń prądów I, I1  oraz I2  przepływających przez obwód elektryczny przedstawiony na rysunku powyżej. Załóżmy, że SEM źródła wynosi ε  = 12 V, a oporność (rezystancja) rezystorów jest równa R1  = 10 Ω i R2  = 20 Ω. Na początek przeanalizujmy jeszcze raz całą sytuację: źródło SEM „pompuje” ładunki elektryczne pomiędzy ujemnym, a dodatnim biegunem elektrycznym. Kierunek ruchu tych nośników (kierunek prądu) wyznaczony jest przez strzałkę skierowaną od bieguna ujemnego do bieguna dodatniego, a więc w przypadku naszego obwodu odbywa się on zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Prąd ten, oznaczony jako I, po wpłynięciu do węzła B rozdziela się na prąd o natężeniu I1 , który przepływa przez opornik R1  oraz na prąd o natężeniu I2 , który przepływa przez opornik R2. Rezystory te są połączone równolegle tzn. ich początki oraz końce połączone są razem za pomocą tych samych przewodów, do których przyłożona jest ta sama różnica potencjałów równa SEM źródła ε. Aby uprościć ten obwód zastąpimy oporniki R1  i R2  opornikiem zastępczym R12 , co pozwoli nam wyznaczyć wartość natężenia prądu I  wytwarzanego przez źródło SEM (wyznaczenie tego prądu jest w tym przypadku możliwe, ponieważ prąd ten nie ulega rozgałęzieniu na inne prądy w obwodzie).

prosty obwód elektryczny - opór zastępczy - rysunek schematyczny - drugie prawo Kirchhoffa - prawa Kirchhoffa
Równoważny obwód elektryczny, w którym oporniki R1  i R2  połączone równolegle zastąpiono opornikiem zastępczym R12 .

Rezystancję opornika zastępczego R12  obliczymy korzystając z poniższego wzoru (zobacz: Szeregowe i równoległe łączenie rezystorów):

$$R_{12} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = \frac{10 \hspace{.05cm} \Omega \cdot 20 \hspace{.05cm} \Omega}{10 \hspace{.05cm} \Omega + 20 \hspace{.05cm} \Omega} = \tfrac{20}{3} \hspace{.05cm} \Omega$$

Kolejnym krokiem, do tak uproszczonego obwodu elektrycznego, jest zastosowanie drugiego prawa Kirchhoffa. Poprawne użycie tego prawa polega na obejściu całego obwodu, zgodnie z kierunkiem lub w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (wybór należy do nas), zwracając baczną uwagę na napotykane po drodze zmiany potencjału. W tym miejscu musimy zapisać dwie podstawowe reguły analizy obwodów elektrycznych:

Ważna uwaga

1) Gdy analizujemy obwód w kierunku zgodnym z kierunkiem przepływu prądu, zmiana potencjału źródła SEM wynosi . W przeciwnym razie tzn. gdy analizujemy obwód w kierunku przeciwnym do kierunku przepływu prądu, zmiana potencjału źródła wynosi .

2) Gdy analizujemy obwód w kierunku zgodnym z kierunkiem przepływu prądu, zmiana potencjału przy przejściu przez rezystor wynosi – I R. W przeciwnym wypadku zmiana potencjału jest równa + I R.

Zmiana potencjału przy przejściu przez opornik równa ± I R  wynika z definicji oporu elektrycznego: R  = U /I. Zauważ, że zgodnie z powyższym rysunkiem biegun dodatni źródła SEM połączony jest z górnym końcem opornika R12 , a biegun ujemny z jego dolnym końcem. Oznacza to, że górny koniec rezystora ma większy potencjał, niż jego dolny koniec i dlatego też zmiana potencjału przy przejściu przez opornik od końca o większym potencjale do końca o mniejszym potencjale wynosi – I R  (występuje spadek potencjału (napięcia)). W przeciwnym wypadku tj. gdy ruch ładunków odbywa się od bieguna ujemnego do bieguna dodatniego, zmiana potencjału jest równa + I R, ponieważ występuje wzrost potencjału elektrycznego.

Korzystając z tych informacji zastosujmy drugie prawo Kirchhoffa, obchodząc obwód zgodnie z kierunkiem przepływu prądu, czyli zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara, rozpoczynając od punktu A:

$$V_A \hspace{.15cm} – \hspace{.05cm} I \hspace{.05cm} R_{12} + \varepsilon = V_A$$

Rozpoczynając i kończąc analizę obwodu w punkcie A musimy oczywiście otrzymać ten sam potencjał VA  (wracamy do tego samego punktu), czego potwierdzeniem jest powyższy wzór. Po zredukowaniu wielkości VA , dostaniemy:

$$\varepsilon = I \hspace{.05cm} R_{12}$$

skąd po przekształceniu powyższego wyrażenia względem prądu I, otrzymamy:

$$I = \frac{\varepsilon}{R_{12}} = \varepsilon \hspace{.05cm} \frac{R_1 + R_2}{R_1 \cdot R_2} = 12 \hspace{.05cm} \textrm{V} \cdot \frac{10 \hspace{.05cm} \Omega + 20 \hspace{.05cm} \Omega}{10 \hspace{.05cm} \Omega \cdot 20 \hspace{.05cm} \Omega} = 1,\hspace{-.1cm}8 \hspace{.05cm} \textrm{A}$$

(zupełnie jednakową wartość prądu I  dostalibyśmy po przejściu tego obwodu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara)

Znając wartość prądu I  możemy teraz powrócić do pierwszego obwodu z dwoma równolegle połączonymi opornikami. Naszym zadaniem jest obliczenie natężenia prądu I1  oraz I2 . W tym celu zapiszmy drugie prawo Kirchhoffa dla lewego oczka (BADB). Rozpoczynając analizę w punkcie A oraz poruszając się zgodnie z kierunkiem przepływu prądu, otrzymamy:

$$V_A \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} I \hspace{.05cm} R_1 + \varepsilon = V_A$$

skąd po przekształceniu dostaniemy wartość prądu I1 , równą:

$$I_1 = \frac{\varepsilon}{R_1} = \frac{12 \hspace{.05cm} \textrm{V}}{10 \hspace{.05cm} \Omega} = 1,\hspace{-.1cm}2 \hspace{.05cm} \textrm{A}$$

Aby znaleźć prąd I2  skorzystamy z pierwszego prawa Kirchhoffa. Wiemy, że prąd o natężeniu I  po wpłynięciu do węzła B rozdziela się na prąd I1  i I2 , zatem:

$$I_2 = I \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} I_1 = 1,\hspace{-.1cm}8 \hspace{.05cm} \textrm{A} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1,\hspace{-.1cm}2 \hspace{.05cm} \textrm{A} = 0,\hspace{-.1cm}6 \hspace{.05cm} \textrm{A}$$

Dodaj komentarz

Anuluj komentarz

4 komentarze

  • Monikas

    Dodano dnia 8 listopada 2019 o godz. 13:38

    Mam pytanie, jak tłumaczyć oznaczenie VA?

    • Admin

      Dodano dnia 9 listopada 2019 o godz. 10:19

      VA  to potencjał elektryczny w danym punkcie obwodu.

  • Julia

    Dodano dnia 15 czerwca 2014 o godz. 17:01

    Zgadzam się z Kasią. Trzymam kciuki za dalszy rozwój strony!

  • Kasia

    Dodano dnia 7 sierpnia 2013 o godz. 09:03

    Jak dla mnie najlepsza strona z wszystkich zawierających info o fizyce!!! Szkoda, że dokopałam się do niej po tygodniu 🙁 ale jest naaaajlepsza!!! (bardzo dobrze tłumaczysz wg mnie :))