Test: Ruch harmoniczny – poziom średni

22 lipca 2014


0%

Częstotliwość drgań ciała wynosi 50 Hz. Czas, w którym ciało pokona odcinek 0X i 0Y zaznaczony na poniższym rysunku wynosi odpowiednio:

drgania harmoniczne - przykładowy wykres - test ruch harmoniczny - poziom średni
Dobrze! Źle!

Znamy częstotliwość drgań ciała, więc z łatwością możemy obliczyć okres jednego pełnego drgania:

$$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{50 \hspace{.05cm} \textrm{Hz}} = 0,\hspace{-.1cm}02 \hspace{.05cm} \textrm{s} = 20 \hspace{.05cm} \textrm{ms}$$

Teraz wystarczy z rysunku odczytać miejsce przecięcia wykresu z punktem X oraz Y na osi czasu i dokonać stosownych obliczeń.

Czas, w którym ciężarek zawieszony na sprężynie przebywa drogę od położenia równowagi do skrajnego położenia jest równy 0,1 s. Częstotliwość drgań tego ciężarka wynosi (zakładamy, że wychylenie ciężarka zmienia się zgodnie z równaniem  $x (t) = A \hspace{.05cm} \textrm{sin} \left( \omega \hspace{.05cm} t + \varphi \right)$):

Dobrze! Źle!

Aby obliczyć częstotliwość drgań ciężarka należy rozpatrzyć dwa zdarzenia: jedno, gdy ciężarek znajduje się w położeniu równowagi, drugie, gdy ciężarek znajduje się w skrajnym położeniu tj. gdy wychylenie ciężarka odpowiada amplitudzie drgań (x  = A ). Dla pierwszego przypadku dostaniemy:

$$x (t = 0 \hspace{.05cm} \textrm{s}) = 0 \hspace{.05cm} \textrm{m} = A \hspace{.05cm} \textrm{sin} \left( \omega \cdot 0 \hspace{.05cm} \textrm{s} + \varphi \right) = A \hspace{.05cm} \textrm{sin} \varphi$$

Warunek  $\textrm{sin} \hspace{.03cm} \varphi = 0$  spełnia  $\varphi = 0$.

Dla drugiego przypadku otrzymamy:

$$x(t = 0,\hspace{-.1cm}1 \hspace{.05cm} \textrm{s}) = A = A \hspace{.05cm} \textrm{sin} \left( \omega \cdot 0,\hspace{-.1cm}1 \hspace{.05cm} \textrm{s} + \varphi \right) = A \hspace{.05cm} \textrm{sin} \left( 0,\hspace{-.1cm}2 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} f \right)$$

Po skróceniu:

$$\textrm{sin} \left( 0,\hspace{-.1cm}2 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} f \right) = 1$$

Warunek ten spełniony jest wtedy, gdy wyrażenie:

$$0,\hspace{-.1cm}2 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} f = \frac{\pi}{2}$$

co oznacza, że szukana wartość częstotliwości f  = 2,5 Hz.

Punkt materialny drga ruchem harmonicznym prostym opisanym równaniem  $x (t) = A \hspace{.05cm} \textrm{sin} \left( \omega \hspace{.05cm} t + \varphi \right)$. Amplituda A  = 0,5m, okres T  = 2 s. W punkcie maksymalnego wychylenia z położenia równowagi prędkość i przyspieszenie drgającego punktu wynoszą w przybliżeniu:

Dobrze! Źle!

W punkcie maksymalnego wychylenia ciała z położenia równowagi prędkość ciała wynosi 0 m/s, a przyspieszenie przyjmuje maksymalną wartość (zobacz prędkość i przyspieszenie w ruchu harmonicznym). Korzystając ze wzoru:

$$a (t) = \hspace{.1cm} - \hspace{.05cm} \omega^2 \hspace{.05cm} x (t)$$

otrzymamy:  $a = \hspace{.1cm} - \hspace{.05cm} \omega^2 \hspace{.05cm} A$.  Wiedząc, że  $\omega = \frac{2 \hspace{.05cm} \pi}{T}$,  dostaniemy:

$$a = \hspace{.1cm} - \hspace{.05cm} \frac{4 \hspace{.05cm} \pi^2 \hspace{.05cm} A}{T^2} \approx \hspace{.1cm} - \hspace{.05cm} 5 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2}$$

(maksymalna wartość przyspieszenia zmienia się w zakresie  $\pm 5 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}^2}$)

Średnia prędkość w ruchu harmonicznym, którego amplituda A  = 0,1 m, a okres T  = 1 s, wynosi:

Który z poniższych wykresów prawidłowo przedstawia zależność siły w funkcji położenia ciała drgającego ruchem harmonicznym?

zależność siły od wychylenia w ruchu harmonicznym - wykres - test ruch harmoniczny - poziom średni
Dobrze! Źle!

Siła działająca na ciało drgające ruchem harmonicznym jest wprost proporcjonalna i przeciwnie skierowana do wychylenia ciała (zobacz siła w ruchu harmonicznym). Oznacza to, że zależność pomiędzy wychyleniem x  ciała a siłą F  ma charakter liniowy (wykres jest linią prostą). Gdy x  = 0 m, siła F  = 0 N; gdy x  = A, siła F  = - k A . Gdy x  = - A , siła F  = k A . Warunki te spełnia tylko wykres a).

Przyspieszenie drgającego ruchem harmonicznym ciężarka wychylonego o 3 cm z położenia równowagi wynosi 2 m/s2. Przyspieszenie 4 m/s2 zostanie osiągnięte wtedy, gdy wychylenie ciężarka będzie równe:

Dobrze! Źle!

Zacznijmy od zapisania związku łączącego wychylenie i przyspieszenie ciała drgającego ruchem harmonicznym (zobacz prędkość i przyspieszenie w ruchu harmonicznym):

$$a(t) = \hspace{.1cm} - \hspace{.05cm} \omega^2 \hspace{.05cm} x (t)$$

Następnie wprowadźmy oznaczenia: a1, x1 oraz a2, x2, gdzie x2 to szukane wychylenie ciała, dla którego przyspieszenie a2 = 4 m/s2. Po wprowadzeniu oznaczeń do powyższego wzoru, dostaniemy:

$$a_1 = \hspace{.1cm} - \hspace{.05cm} \omega^2 \hspace{.05cm} x_1$$

oraz:

$$a_2 = \hspace{.1cm} - \hspace{.05cm} \omega^2 \hspace{.05cm} x_2$$

Z pierwszego równania mamy:

$$\hspace{.1cm} - \hspace{.05cm} \omega^2 = \frac{a_1}{x_1}$$

Po wstawieniu tej zależności do drugiego równania oraz wykonaniu przekształceń względem x2, otrzymamy:

$$x_2 = \frac{a_2}{a_1} \hspace{.05cm} x_1 = 6 \hspace{.05cm} \textrm{cm}$$

Ciało drgające ruchem harmonicznym o amplitudzie A = 2 cm osiąga maksymalną prędkość drgań równą 10 cm/s. Oznacza to, że maksymalne przyspieszenie drgań tego ciała wynosi (zakładamy, że wychylenie ciała w funkcji czasu opisuje wyrażenie  $x (t) = A \hspace{.05cm} \textrm{sin} \left( \omega \hspace{.05cm} t + \varphi \right)$):

Dobrze! Źle!

Korzystamy z zależności (zobacz prędkość i przyspieszenie w ruchu harmonicznym):

$$a (t) = \hspace{.1cm} - \hspace{.05cm} \omega^2 \hspace{.05cm} x (t)$$

W punkcie maksymalnego wychylenia ciała, odpowiadającego amplitudzie drgań A, przyspieszenie drgań osiąga maksymalną wartość, dlatego też:

$$a_{max} = \hspace{.1cm} - \hspace{.05cm} \omega^2 \hspace{.05cm} A$$

Częstość kołowa ω nie jest znana, lecz możemy ją powiązać z amplitudą A  oraz prędkością maksymalną Vmax. Prędkość maksymalna drgań osiągana jest wtedy, gdy  $x (t) = 0 \hspace{.05cm} \textrm{m}$, w związku z czym:

$$0 = A \hspace{.05cm} \textrm{sin} \left( \omega \hspace{.05cm} t + \varphi \right)$$

Warunek ten spełniony jest, gdy  $\omega \hspace{.05cm} t = \hspace{-.1cm} - \hspace{.05cm} \varphi$.  Po wstawieniu tego warunku do wzoru na prędkość:

$$V_{max} = \omega \hspace{.05cm} A \hspace{.05cm} \textrm{cos} \left( \omega \hspace{.05cm} t + \varphi \right)$$

otrzymamy po przekształceniu:

$$\omega = \frac{V_{max}}{A}$$

Ostatecznie wzór na przyspieszenie maksymalne przyjmie następującą postać:

$$a_{max} = \hspace{-.1cm} - \hspace{.05cm} \frac{V^2_{max}}{A}$$

(znak minus możemy pominąć w obliczeniach, gdyż szukamy wartości przyspieszenia).

Ciało wykonuje drgania harmoniczne pomiędzy punktami X i Y, gdzie 0 odpowiada położeniu równowagi. Z punktu 0 do punktu Y ciało porusza się ruchem:

drgania harmoniczne ciała - rysunek schematyczny - test ruch harmoniczny - poziom średni
Dobrze! Źle!

W położeniu równowagi ciało posiada maksymalną prędkość; w punktach skrajnych X i Y prędkość ciała wynosi 0 m/s. Oznacza to, że ciało na odcinku 0 - Y zwalnia. Dodatkowo wiemy, że drgania harmoniczne powodowane są przez siłę o zmiennej wartości (zobacz siła w ruchu harmonicznym), dlatego ruch ciała pomiędzy punktami 0 i Y jest ruchem niejednostajnie opóźnionym.

Ciało o masie m ulega drganiom harmonicznym o okresie T. Jeżeli amplituda drgań ciała jest równa A, to maksymalna wartość siły działającej na to ciało wynosi:

Dobrze! Źle!

Wartość siły w ruchu harmonicznym zmienia się zgodnie z równaniem:

$$F (t) = \hspace{.1cm} - \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} x (t)$$

Maksymalna wartość siły Fmax  występuje wtedy, gdy x  = A , zatem:

$$F_{max} = \hspace{.1cm} - \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A$$

(znak minus informuje nas o tym, że siła jest przeciwnie skierowana do kierunku wychylenia ciała; ponieważ interesuje nas wartość siły, dlatego w kolejnych wzorach znak minus będziemy pomijać). Stałą sprężystości k  możemy powiązać z masą m  ciężarka oraz z częstością kołową ω  jego drgań:

$$k = m \hspace{.05cm} \omega^2$$

(zobacz siła w ruchu harmonicznym). Ponieważ:

$$\omega = \frac{2 \hspace{.05cm} \pi}{T}$$

dlatego:

$$F_{max} = \frac{4 \hspace{.05cm} \pi^2 \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} A}{T^2}$$

Gratuluję ukończenia testu!

Dobrze! Źle!

Ilość pytań: 9.
Twoja ocena: Niedostateczny
Ilość pytań: 9.
Twoja ocena: Dopuszczający
Ilość pytań: 9.
Twoja ocena: Dostateczny
Ilość pytań: 9.
Twoja ocena: Dobry
Ilość pytań: 9.
Twoja ocena: Bardzo dobry
Ilość pytań: 9.
Twoja ocena: Celujący

Może to Cię również zainteresuje:

Oceń artykuł:

NieprzydatnySłabyPrzeciętnyPrzydatnyBardzo przydatny (1 ocen(-a), średnia ocena: 5,00 na 5)
Loading...

Tagi:

Dodaj komentarz

Pole wymagane
Pole wymagane (e-mail nie będzie widoczny)
Pole wymagane