Test: Ruch harmoniczny – poziom łatwy
Pewne ciało wykonuje drgania harmoniczne. W punkcie maksymalnego wychylenia z położenia równowagi
Wychylenie pewnego ciała zmienia się zgodnie z poniższym wyrażeniem:
$$x (t) = A \hspace{.05cm} \textrm{sin} \left( \omega \hspace{.05cm} t \right)$$Amplituda i okres drgań wynoszą odpowiednio A = 5 cm, T = 1 s. Zależność prędkości od czasu dla tego ciała prawidłowo opisuje wzór:
Wyrażenie na prędkość dla tego ciała opisuje wzór: $V(t) = \omega \hspace{.05cm} A \hspace{.05cm} \textrm{sin} \left( \omega \hspace{.05cm} t \right)$. Podstawiając w miejsce ω wyrażenie $\omega = \frac{2 \hspace{.05cm} \pi}{T}$ i dokonując obliczeń otrzymamy:
$$V(t) = 10 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} \textrm{cos} \left( 2 \hspace{.05cm} \pi \hspace{.05cm} t \right)$$Wielkością opisującą szybkość, z jaką powtarza się jedno pełne drganie ciała jest:
Zobacz ruch harmoniczny - opis.
Ciało wykonuje drgania harmoniczne o okresie T = 12 s i amplitudzie A = 20 cm. W chwili początkowej (t = 0 s) ciało znajduje się w położeniu równowagi. Po upływie 1 sekundy wychylenie ciała od położenia równowagi będzie równe (zakładamy, że równanie ruchu ciała opisuje wyrażenie $x (t) = A \hspace{.05cm} \textrm{sin} \left( \omega \hspace{.05cm} t \right)$):
Zacznijmy od zapisania równania opisującego przemieszczenie ciała w ruchu harmonicznym:
$$x (t) = A \hspace{.05cm} \textrm{sin} \left( \omega \hspace{.05cm} t + \varphi \right) = A \hspace{.05cm} \textrm{sin} \left(\frac{2 \hspace{.05cm} \pi}{T} \hspace{.05cm} t + \varphi \right)$$W chwili początkowej (t = 0 s) ciało znajduje się w położeniu równowagi, zatem:
$$x (t = 0 \hspace{.05cm} \textrm{s}) = 0 \hspace{.05cm} \textrm{m} = A \hspace{.05cm} \textrm{sin} \left(\omega \cdot 0 \hspace{.05cm} \textrm{s} + \varphi \right)$$Wiemy więc, że początkowa faza drgań φ = 0. Znamy już wszystkie wielkości, w związku z czym możemy przystąpić do obliczeń:
$$x (t = 1 \hspace{.05cm} \textrm{s}) = 20 \hspace{.05cm} \textrm{cm} \cdot \textrm{sin} \left( \frac{2 \hspace{.05cm} \pi}{12 \hspace{.05cm} \textrm{s}} \cdot 1 \hspace{.05cm} \textrm{s} \right) = 20 \hspace{.05cm} \textrm{cm} \cdot \textrm{sin} \left( \frac{\pi}{6} \right) = 10 \hspace{.05cm} \textrm{cm}$$Okres ruchu pewnego ciała, drgającego ruchem harmonicznym, wynosi 0,02 s. Oznacza to, że częstotliwość drgań wynosi:
Okres T i częstotliwość drgań ciała f powiązane są ze sobą następującą zależnością: T = 1/f (zobacz: Ruch harmoniczny - opis). Po przekształceniu i wykonaniu obliczeń, dostaniemy:
$$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0,\hspace{-.1cm}02 \hspace{.05cm} \textrm{s}} = 50 \hspace{.05cm} \textrm{Hz}$$Pewne ciało wykonuje drgania harmoniczne. W położeniu równowagi
Po upływie czasu t = 2 s wychylenie ciała z położenia równowagi jest równe $x = \frac{\sqrt{3}}{2} \hspace{.05cm} A$, gdzie A - amplituda drgań. Wiedząc, że faza początkowa drgań φ = 0, oblicz okres drgań tego ciała (zakładamy, że wychylenie ciała zmienia się zgodnie ze wzorem $x (t) = A \hspace{.05cm} \textrm{sin} \left( \omega \hspace{.05cm} t \right)$).
Wiemy, że dla t = 2 s wychylenia ciała wynosi $x = \frac{\sqrt{3}}{2} \hspace{.05cm} A$, zatem :
$$\tfrac{\sqrt{3}}{2} \hspace{.05cm} A = A \hspace{.05cm} \textrm{sin} \left(\omega \cdot 2 \hspace{.05cm} \textrm{s} \right) = A \hspace{.05cm} \textrm{sin} \left(\frac{2 \hspace{.05cm} \pi}{T} \cdot 2 \hspace{.05cm} \textrm{s} \right)$$Po skróceniu i przekształceniu stronami, otrzymamy:
$$\textrm{sin} \left(\frac{4 \hspace{.05cm} \pi}{T} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$Warunek ten spełnia T = 12 s.
Wychylenie ciała drgającego ruchem harmonicznym zmienia się zgodnie z poniższym wzorem:
$$x (t) = 4 \hspace{.05cm} \textrm{cos} \left( \frac{\pi}{2} \hspace{.05cm} t + \frac{\pi}{3} \right)$$Amplituda A i okres drgań T ciała wynoszą odpowiednio:
Amplituda to wielkość stojąca przed funkcją cosinus, zatem A = 4 m. Aby obliczyć okres drgań korzystamy ze wzoru $\omega = \frac{2 \hspace{.05cm} \pi}{T}$. Zgodnie z równaniem ruchu $\omega = \frac{\pi}{2}$, zatem: $\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{2 \hspace{.05cm} \pi}{T}$. Po przekształceniu dostaniemy T = 4 s.
Drgania harmoniczne pewnego ciała opisuje poniższe równanie:
$$x (t) = A \hspace{.05cm} \textrm{cos} \left( \frac{\pi}{4} \hspace{.05cm} t + \varphi \right)$$Wiedząc, że w chwili t = 0 s wychylenie ciała jest równe amplitudzie drgań, oblicz ile wynosi faza początkowa drgań ?
Zgodnie z treścią zadania: $x ( t = 0 \hspace{.05cm} \textrm{s} ) = A$, zatem $A = A \hspace{.05cm} \textrm{cos} \left( \frac{\pi}{4} \cdot 0 \hspace{.05cm} \textrm{s} + \varphi \right)$. Po skróceniu dostaniemy cos φ = 1, co oznacza, że φ = 0.
Dodaj komentarz