Arkusz maturalny z fizyki – poziom rozszerzony – rok 2020 („nowa matura”) – zadania nr 5 – 8

Podpunkt a)

Zdanie 1

Gdy suwak opornika przesuwamy w lewo zmniejszamy jego rezystancję i tym samym opór całego obwodu. Skutkiem zmniejszenia oporu obwodu jest wzrost natężenia prądu I  płynącego przez zwojnicę. Ponieważ indukcja magnetyczna zwojnicy jest wprost proporcjonalna do natężenia prądu, zatem przesuwając suwak opornika w lewo zwiększamy wartość natężenia prądu oraz indukcji magnetycznej zwojnicy.

Prawidłowa odpowiedź: rośnie.

Zdanie 2

Wraz ze wzrostem indukcji pola magnetycznego zwojnicy wzrasta również wartość strumienia pola magnetycznego w metalowym pierścieniu. Skutkiem tego zjawiska jest powstanie w pierścieniu prądu indukowanego, który wytwarza swoje własne pole magnetyczne. Zgodnie z regułą Lenza pole magnetyczne wytworzone przez prąd indukowany przeciwdziała dalszym zmianom strumienia pola magnetycznego. Wektor indukcji jest zawsze zwrócony przeciwnie do wzrastającego wektora indukcji pola powodującego powstanie prądu indukowanego. Oznacza to, że wektor indukcji magnetycznej pierścienia będzie zwrócony przeciwnie do wektora indukcji magnetycznej zwojnicy, a więc pierścień będzie odpychany przez zwojnicę.

Prawidłowa odpowiedź: jest odpychany.

Podpunkt b)

W tym przypadku mamy do czynienia z sytuacją, w której wartość indukcji pola magnetycznego zwojnicy ulega stopniowemu zmniejszaniu (pierścień 'zbliża się' do zwojnicy, aby przeciwdziałać dalszemu zmniejszaniu się indukcji magnetycznej zwojnicy). Zgodnie z teorią zwrot wektora indukcji pola magnetycznego wytworzonego przez prąd indukowany w danym obwodzie jest zawsze zgodny ze zwrotem malejącego wektora indukcji pola, który ten prąd wytworzył. W naszym przypadku obydwa wektory indukcji magnetycznej zwrócone są w prawą stronę rysunku. Gdy zastosujemy regułę prawej dłoni do wyznaczenia kierunku prądu indukowanego w pierścieniu to okaże się, że prąd ten będzie płynął w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara, w związku z czym prawidłowy kierunek prądu indukowanego w pierścieniu został przedstawiony na rysunku A.

Prawidłowa odpowiedź: rysunek A.

Podpunkt a)

Im mniejsza ilość ciepła oddanego do chłodnicy, tym większa sprawność silnika cieplnego. Jak wynika z treści zadania cykl termodynamiczny silnika S₁ został tak dobrany, aby ilość ciepła oddanego do chłodnicy była możliwie jak najmniejsza. Oznacza to, że sprawność η_S1  tego silnika musi być równa sprawności η_max  silnika idealnego. Aby obliczyć ilość ciepła Q_odd  oddawanego przez silnik S₁ w jedym cyklu jego pracy skorzystamy z następującej definicji sprawności silnika cieplnego:

$$\eta_{\textrm{S}1} = \frac{W}{Q_{pob}} = \frac{Q_{pob} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} Q_{odd}}{Q_{pob}}$$

gdzie W  to całkowita praca wykonana przez silnik cieplny równa różnicy ciepła pobranego Q_pob  przez silnik cieplny oraz ciepła oddanego Q_odd  przez silnik do chłodnicy.

Po wstawieniu w miejsce η_S1  i η_max  odpowiednich wyrażeń, dostaniemy:

$$\eta_{\textrm{S}1} = \eta_{max} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \frac{Q_{pob} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} Q_{odd}}{Q_{pob}} = \frac{T_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2}{T_2}$$

skąd po przekształceniach, otrzymamy:

$$Q_{pob} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} Q_{odd} = \left( \frac{T_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2}{T_2} \right) Q_{pob} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} Q_{odd} = Q_{pob} \left[ 1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{T_1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} T_2}{T_2} \right]$$

Wiemy, że Q_pob  = 100 J, T₁  = 750,15 K (477 °C), a T₂  = 290,15 K (17 °C). Po podstawieniu do powyższego równania wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń uzyskamy wartość ciepła oddanego przez silnik cieplny do chłodnicy równą:

$$Q_{odd} = 100 \hspace{.05cm} \textrm{J} \cdot \left[ 1 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \frac{750,\hspace{-.05cm}15 \hspace{.05cm} \textrm{K} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 290,\hspace{-.05cm}15 \hspace{.05cm} \textrm{K}}{750,\hspace{-.05cm}15 \hspace{.05cm} \textrm{K}} \right] \approx 39 \hspace{.05cm} \textrm{J}$$

Podpunkt b)

Aby odpowiedzieć na to pytanie wystarczy odnieść się do wzoru na sprawność silnika idealnego η_max . Gdyby ilość ciepła oddanego podczas jednego cyklu pracy silnika S₁ była mniejsza od pewnej granicznej wartości, wówczas sprawność η_S1  silnika S₁ byłaby wyższa od sprawności silnika idealnego, co stoi w sprzeczności z zasadami termodynamiki (sprawność dowolnego silnika cieplnego nie może być większa od sprawności silnika idealnego).

Prawidłowa odpowiedź: a) ciepło oddane do chłodnicy przez silnik S₁ wynosi ok. 39 J, b) ponieważ sprawność takiego silnika byłaby większa od sprawności silnika idealnego.

Aby obliczyć wartość ciepła oddanego do chłodnicy przez silnik S₂ skorzystamy z pierwszej zasady termodynamiki:

$$\Delta \hspace{.03cm} U = Q + W$$

gdzie ΔU  to zmiana energii wewnętrznej układu, Q  – ciepło dostarczone bądź odebrane od układu, a W  to praca wykonana nad, bądź przez taki układ.

Zmiana energii wewnętrznej układu dla procesów odbywających się cyklicznie (układ po wykonaniu określonych procesów powraca do stanu początkowego) jest równa 0, w związku z czym:

$$0 = Q + W \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} Q = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} W$$

Gdy w miejsce Q  podstawimy wyrażenie Q_pob  – Q_odd , a w miejsce W  = W_spr  – W_rozpr  (W_spr  – praca wykonana podczas sprężania gazu, W_rozpr  – praca wykonana podczas rozprężania gazu), otrzymamy:

$$Q_{pob} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} Q_{odd} = \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \left( W_{spr} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} W_{rozpr} \right) = W_{rozpr} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} W_{spr}$$

Wielkością szukaną jest Q_odd . Po przekształceniu powyższego wzoru względem Q_odd , podstawieniu wartości liczbowych oraz wykonaniu obliczeń, dostaniemy:

$$Q_{odd} = Q_{pob} + W_{spr} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} W_{rozpr} = 100 \hspace{.05cm} \textrm{J} + 8,\hspace{-.05cm}7 \hspace{.05cm} \textrm{J} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 34,\hspace{-.05cm}8 \hspace{.05cm} \textrm{J} = 73,\hspace{-.05cm}9 \hspace{.05cm} \textrm{J}$$

Prawidłowa odpowiedź: ciepło oddane do chłodnicy przez silnik S₂ wynosi 73,9 J.

Korzystamy ze wzoru na sprawność silnika cieplnego:

$$\eta_{\textrm{S}2} = \frac{Q_{pob} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} Q_{odd}}{Q_{pob}}$$

Wartość ciepła pobranego i oddanego przez silnik S₂  jest znana, w związku z czym:

$$\eta_{\textrm{S}2} = \frac{100 \hspace{.05cm} \textrm{J} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 73,\hspace{-.05cm}9 \hspace{.05cm} \textrm{J}}{100 \hspace{.05cm} \textrm{J}} \approx 0,\hspace{-.05cm}26$$

Prawidłowa odpowiedź: odpowiedź c).

Zdanie 1

Przemiana izotermiczna to przemiana zachodząca przy stałej temperaturze (T = const.). Zgodnie z teorią średnia energia kinetyczna cząsteczek gazu jest wprost proporcjonalna do temperatury T. Oznacza to, że podczas przemiany izotermicznej średnia energia kinetyczna cząsteczek gazu nie będzie ulegać zmianie, zatem zdanie to jest fałszywe.

Zdanie 2

Podczas sprężania izotermicznego objętość zajmowana przez gaz maleje, wskutek czego cząsteczki gazu znajdują się bliżej siebie. Wpływa to oczywiście na zmniejszenie średniej odległości między nimi, a więc zdanie to jest prawdziwe.

Zdanie 3

"Skutkiem ubocznym" sprężania izotermicznego jest, oprócz zmniejszenia objętości zajmowanej przez gaz, wzrost ciśnienia gazu wypełniającego naczynie. Ciśnienie to stosunek siły działającej na pewną powierzchnię do wielkości tej powierzchni. Wzrost ciśnienia wywieranego na ścianki naczynia przez cząsteczki gazu związany jest bezpośrednio ze wzrostem częstotliwości z jaką cząsteczki te uderzają o ścianki naczynia (im mniej miejsca w naczyniu, tym częstsze zderzenia cząsteczek gazu ze ściankami naczynia), w związku z czym zdanie to jest prawdziwe.

Prawidłowa odpowiedź: 1 – F,  2 – P,  3 – P.

Bezwzględny współczynnik załamania światła n  zdefiniowany jest jako stosunek prędkości światła w próżni c  do prędkości światła w danym ośrodku V :

$$n = \frac{c}{V}$$

Zgodnie z powyższym wykresem bezwzględny współczynnik załamania światła dla światła fioletowego wynosi około n_f  ≈ 1,54, a dla światła czerwonego n_cz  ≈ 1,51. Wartości te oznaczają, że prędkość światła czerwonego w tym szkle jest większa od prędkości światła fioletowego: V_f  < V_cz  (zgodnie ze wzorem  $n = \frac{c}{V}$  im większa prędkość V , tym mniejsza wartość bezwzględnego współczynnika załamania światła n ).

Aby dowiedzieć się jaka występuje zależność pomiędzy częstotliwością światła fioletowego a czerwonego skorzystamy z poniższego wzoru:

$$f = \frac{c}{\lambda}$$

(częstotliwość światła nie ulega zmianie podczas przejścia z jednego ośrodka do drugiego, dlatego też jest ona taka sama i w próżni i w szkle).

W oparciu o powyższe wyrażenie możemy stwierdzić, że częstotliwość światła fioletowego f_f  jest większa od częstotliwości światła czerwonego f_cz  (f_f  > f_cz ), ponieważ im większa długość fali światła (zgodnie z wykresem λ_f  = 350 nm, λ_cz  = 700 nm), tym mniejsza wartość częstotliwości.

Prawidłowa odpowiedź: C, 1.

Punktem wyjścia do obliczenia długości fali światła w szkle λ_sz  będzie skorzystanie z faktu, że częstotliwość światła nie ulega zmianie podczas przejścia przez różne ośrodki (zobacz zadanie 8.1). Korzystając z w/w faktu, mamy:

$$f = \frac{V}{\lambda_{sz}} \hspace{1cm} , \hspace{1cm} f = \frac{c}{\lambda}$$

gdzie V  to prędkość światła w szkle, λ_sz  – szukana długość fali w szkle, c  – prędkość światła w próżni, λ  – długość fali w próżni.

Po przyrównaniu stronami powyższych wyrażeń, otrzymamy:

$$\frac{V}{\lambda_{sz}} = \frac{c}{\lambda} \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \lambda_{sz} = \frac{V}{c} \lambda$$

Wiemy, że  $n = \frac{c}{V}$ , dlatego:

$$\lambda_{sz} = \frac{V}{c} \lambda = \frac{\lambda}{n}$$

n  to bezwzględny współczynnik załamania światła, który dla długości fali λ  = 0,50 μm wynosi n  = 1,52 (patrz wykres). Mamy więc wszystkie dane potrzebne do obliczenia długości fali λ_sz :

$$\lambda_{sz} = \frac{\lambda}{n} = \frac{0,\hspace{-.05cm}50 \hspace{.05cm} \mu \textrm{m}}{1,\hspace{-.05cm}52} \approx 0,\hspace{-.05cm}33 \hspace{.05cm} \mu \textrm{m}$$

Prawidłowa odpowiedź: długość tej fali w szkle będzie równa ok. 0,33 μm.

Zgodnie z wykresem bezwzględny współczynnik załamania światła n  dla światła fioletowego przyjmuje większą wartość niż dla światła czerwonego, w związku z czym promienie świetlne światła fioletowego będą ulegać większemu załamaniu (będą załamywane pod większym kątem) niż promienie świetlne światła czerwonego.

Zgodnie z powyzszym rysunkiem środek plamki na ekranie będzie koloru czerwonego.

W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru nazywanego wzorem szlifierzy soczewek, który wiąże ogniskową f  soczewki z jej promieniami krzywizny r₁  i r₂  oraz ze współczynnikiem załamania n  materiału, z którego ją wykonano. Wzór ten przedstawia się następująco:

$$\frac{1}{f} = \left( n \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right)$$

Aby obliczyć stosunek ogniskowej soczewki dla światła fioletowego oraz czerwonego, wprowadźmy stosowne oznaczenia: f_f  i n_f  to odpowiednio ogniskowa i bezwzględny współczynnik załamania światła dla światła fioletowego, a f_cz  i n_cz  to odpowiednio ogniskowa i bezwzględny współczynnik załamania światła dla światła czerwonego (promienie krzywizny soczewki nie ulegają oczywiście zmianie, dlatego też ich oznaczenia – r₁  i r₂  – są wspólne dla obydwu przypadków).

Mamy więc:

$$\frac{1}{f_f} = \left( n_f \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right) \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} f_f = \frac{1}{\left( n_f \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2} \right)}$$

oraz:

$$\frac{1}{f_{cz}} = \left( n_{cz} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right) \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} f_{cz} = \frac{1}{\left( n_{cz} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2} \right)}$$

Szukamy stosunku  $\dfrac{f_f}{f_{cz}}$ , zatem:

$$\frac{f_f}{f_{cz}} = \frac{\dfrac{1}{\left( n_f \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2} \right)}}{\dfrac{1}{\left( n_{cz} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2} \right)}} = \dfrac{\left( n_{cz} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2} \right)}{\left( n_f \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1 \right) \left( \dfrac{1}{r_1} + \dfrac{1}{r_2} \right)} = \frac{n_{cz} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1}{n_f \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1}$$

Wartości n_cz  i n_f  są znane, w związku z czym:

$$\frac{f_f}{f_{cz}} = \frac{n_{cz} \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1}{n_f \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1} = \frac{1,\hspace{-.05cm}51 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1}{1,\hspace{-.05cm}54 \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} 1} = \frac{0,\hspace{-.05cm}51}{0,\hspace{-.05cm}54} \approx 0,\hspace{-.05cm}94$$

Prawidłowa odpowiedź: stosunek ten wynosi ok. 0,94.

Rozwiązania kolejnych zadań z tego arkusza maturalnego znajdziesz na poniższych stronach: