Zamiana jednostek miar i wag – teoria

Bardzo często rozwiązując zadania z fizyki musimy dokonać zamiany jednostki pewnej wielkości fizycznej np. objętości – z g/cm³ na kg/dm³ albo odległość wyrażoną w mikrometrach przedstawić w decymetrach. Zadanie to z pozoru proste, może jednak przysporzyć niemałą trudność. W artykule tym dowiesz się jak rozwiązywać tego typu problemy.

Przykład 1

20 μm = … dm

W tym przypadku musimy dokonać zamiany jednostki odległości wyrażonej w mikrometrach na decymetry. Jeden z możliwych sposobów rozwiązania tego zadania zakłada wyrażenie obydwu odległości w metrach oraz ułożenie odpowiedniego równania (jeżeli nie pamiętasz jaką częścią metra jest mikrometr, czy decymetr koniecznie zobacz artykuł: Przedrostki jednostek układu SI). Wiemy, że 1 μm = 10^-6 m, zaś 1 dm = 10^-1 m, w związku z czym możemy zapisać następujące równanie:

$$20 \cdot 10^{-6} \hspace{.05cm} \textrm{m} = x \cdot 10^{-1} \hspace{.05cm} \textrm{m}$$

gdzie x  jest wielkością szukaną, dla której powyższe wyrażenie będzie oczywiście prawdziwe.

Po wykonaniu stosownych przekształceń otrzymamy wartość x, równą:

$$x = \frac{20 \cdot 10^{-6} \hspace{.05cm} \textrm{m}}{10^{-1} \hspace{.05cm} \textrm{m}} = 20 \cdot 10^{-5}$$

Tak więc:

$$20 \hspace{.05cm} \mu\textrm{m} = 20 \cdot 10^{-5} \hspace{.05cm} \textrm{dm}$$

Przykład 2

5 dag = … mg

W tym przypadku postępujemy podobnie jak w Przykładzie 1. Najpierw wyrażamy obydwie wielkości w gramach, a następnie zapisujemy odpowiednie równanie:

$$5 \cdot 10^1 \hspace{.05cm} \textrm{g} = x \cdot 10^{-3} \hspace{.05cm} \textrm{g}$$

Po przekształceniu powyższego wyrażenia otrzymamy szukaną wartość x, równą:

$$x = \frac{5 \cdot 10^1 \hspace{.05cm} \textrm{g}}{10^{-3} \hspace{.05cm} \textrm{g}} = 5 \cdot 10^4$$

Tak więc:

$$5 \hspace{.05cm} \textrm{dag} = 5 \cdot 10^4 \hspace{.05cm} \textrm{mg}$$

W analogiczny sposób postępujemy także z bardziej złożonymi jednostkami np. jednostkami prędkości, czy objętości.

Przykład 3

30 m/s = … km/h

W takim przypadku, najpierw dokonujemy zamiany jednostki znajdującej się w liczniku, a następnie w mianowniku ułamka. Metr jest tysięczną częścią kilometra, co zapisujemy jako 1 m = 10^-3 km, zaś 1 s = 1/3600 h, co możemy zapisać także jako 1 s = 3,6^-1 ⋅ 10^-3 h (godzina składa się z 60 minut, z kolei minuta – z 60 sekund, czyli jedna sekunda jest 1/3600 częścią godziny). Po podstawieniu tych wartości, otrzymamy:

$$30 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{m}}{\textrm{s}} = 30 \cdot \frac{10^{-3} \hspace{.05cm} \textrm{km}}{3,\hspace{-.1cm}6^{-1} \cdot 10^{-3} \hspace{.05cm} \textrm{h}} = 30 \cdot 3,\hspace{-.1cm}6 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{km}}{\textrm{h}} = 108 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{km}}{\textrm{h}}$$

Przykład 4

4 kg/mm³ = … mg/dm³

Podobnie jak w Przykładzie 3, najpierw zajmiemy się licznikiem. Obydwie wielkości wyrażamy w gramach i (pomijając, na razie, liczbę 4 stojącą przed jednostką) zapisujemy stosowne równanie (zauważ że lewa strona równości – kg – jest większa od prawej strony – mg – a więc powinniśmy otrzymać wartość x  dużo większą od jedności):

$$1 \cdot 10^3 \hspace{.05cm} \textrm{g} = x \cdot 10^{-3} \hspace{.05cm} \textrm{g}$$

Po przekształceniu:

$$x = \frac{1 \cdot 10^3 \hspace{.05cm} \textrm{g}}{10^{-3} \hspace{.05cm} \textrm{g}} = 10^6$$

Tak więc:

$$1 \hspace{.05cm} \textrm{kg} = 10^6 \hspace{.05cm} \textrm{mg}$$

Następnie dokonujemy zamiany jednostki znajdującej się w mianowniku. W celu uniknięcia błędu, najpierw wykonujemy obliczenia dla wyrażenia: 1 mm = … dm:

$$1 \cdot 10^{-3} \hspace{.05cm} \textrm{m} = x \cdot 10^{-1} \hspace{.05cm} \textrm{m}$$

Po przekształceniu:

$$x = \frac{1 \cdot 10^{-3} \hspace{.05cm} \textrm{m}}{10^{-1} \hspace{.05cm} \textrm{m}} = 10^{-2}$$

W kolejnym kroku uzyskaną wartość podnosimy do sześcianu:

$$x^3 = \left( 10^{-2} \right)^3 = 10^{-6}$$

otrzymując w efekcie:

$$1 \hspace{.05cm} \textrm{mm}^3 = 10^{-6} \hspace{.05cm} \textrm{dm}^3$$

Znając już wszystkie niewiadome, podstawiamy je do głównego wyrażenia i po wykonaniu stosownych obliczeń otrzymujemy wynik końcowy:

$$4 \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{kg}}{\textrm{mm}^3} = 4 \cdot \frac{10^6 \hspace{.05cm} \textrm{mg}}{10^{-6} \hspace{.05cm} \textrm{dm}^3} = 4 \cdot 10^{12} \hspace{.05cm} \tfrac{\textrm{mg}}{\textrm{dm}^3}$$

Zamiana jednostek miar i wag – zadania do samodzielnego rozwiązania

1) 5 nm = … dm

2) 9 μg = … Mg

3) 2 cm/min = … μm/s

4) 7 dag/dm³ = … kg/mm³

Odpowiedzi znajdziesz tutaj: Zamiana jednostek miar i wag – rozwiązania zadań