Test: Prąd elektryczny – poziom łatwy

Korzystamy z drugiego prawa Kirchhoffa. Wszystkie elementy obwodu połączone są szeregowo, zatem przez rezystory przepływa prąd o jednakowym natężeniu. Kierunek przepływu prądu w obwodzie wyznaczony jest przez źródło o większej wartości SEM (źródło ε₂), w związku z czym odbywa się on przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Drugie prawo Kirchhoffa zastosowane do tego obwodu wynosi:

$$\varepsilon_2 \hspace{.15cm} - \hspace{.05cm} I \hspace{.05cm} R_1 \hspace{.15cm} - \hspace{.05cm} \varepsilon_1 \hspace{.15cm} - \hspace{.05cm} I \hspace{.05cm} R_2 = 0$$

Po przekształceniu tego wyrażenia względem prądu I, dostaniemy:

$$I = \frac{\varepsilon_2 \hspace{.15cm} - \hspace{.05cm} \varepsilon_1}{R_1 + R_2} = \tfrac{2}{3} \hspace{.05cm} \textrm{A}$$

Zobacz równoległe łączenie rezystorów.

Korzystamy ze wzoru na opór $R = \frac{U}{I}$  oraz moc prądu elektrycznego $P = U \hspace{.05cm} I$.  Wielkością szukaną jest opór R, zatem:

$$R = \frac{U}{I} = \frac{U^2}{P}$$

Po podstawieniu do powyższego wzoru wartości liczbowych i wykonaniu obliczeń dostaniemy szukany stosunek oporów równy 1:0,4:0,2.

Zobacz szeregowe łączenie rezystorów.

Opór R  krótszego przewodu jest równy $R_k = \rho \hspace{.05cm} \frac{l}{S}$, z kolei dłuższego $R_d = \rho \hspace{.05cm} \frac{2 \hspace{.05cm} l}{S}$.  Po podzieleniu R_d  przez R_k , dostaniemy:

$$\frac{R_d}{R_k} = \frac{2 \hspace{.05cm} \rho \hspace{.05cm} l \hspace{.05cm} S}{\rho \hspace{.05cm} l \hspace{.05cm} S} = 2$$

Aby wyznaczyć natężenie prądu przepływającego przez obwód skorzystamy z drugiego prawa Kirchhoffa:

$$\varepsilon_2 \hspace{.15cm} - \hspace{.05cm} I \hspace{.05cm} R_1 \hspace{.15cm} - \hspace{.05cm} \varepsilon_1 \hspace{.15cm} - \hspace{.05cm} I \hspace{.05cm} R_2 = 0$$

Po przekształceniu powyższego wzoru względem I, otrzymamy:

$$I = \frac{\varepsilon_2 \hspace{.15cm} - \hspace{.05cm} \varepsilon_1}{R_1 + R_2} = \tfrac{2}{3} \hspace{.05cm} \textrm{A}$$

Znając prąd możemy przystąpić do wyznaczenia potencjałów. Potencjał w punkcie A jest równy SEM źródła ε₂, więc V_A  = 5 V. Potencjał w punkcie B jest pomniejszony o spadek napięcia na rezystorze R₁:

$$U_1 = I \hspace{.05cm} R_1 = \tfrac{4}{3} \hspace{.05cm} \textrm{V}$$

więc:

$$V_B = 5 \hspace{.05cm} \textrm{V} \hspace{.15cm} - \hspace{.05cm} \tfrac{4}{3} \hspace{.05cm} \textrm{V} = 3 \tfrac{2}{3} \hspace{.05cm} \textrm{V}$$

Potencjał w punkcie C pomniejszony jest o spadek na źródle ε₁, zatem:

$$V_C = V_B \hspace{.15cm} - \hspace{.05cm} \varepsilon_1 = 3 \tfrac{2}{3} \hspace{.05cm} \textrm{V} \hspace{.1cm} - \hspace{.05cm} 3 \hspace{.05cm} \textrm{V} = \tfrac{2}{3} \hspace{.05cm} \textrm{V}$$

Praca wykonywana przez prąd elektryczny wynosi  $W = U \hspace{.05cm} I \hspace{.05cm} t$.  Ponieważ praca jest rodzajem energii, zatem energię E  pobieraną przez odbiornik możemy wyrazić jako  $E = U \hspace{.05cm} I \hspace{.05cm} t$.  Korzystając z definicji oporu elektrycznego $R = \frac{U}{I}$,  otrzymamy:  $E = I^2 \hspace{.05cm} R \hspace{.05cm} t$,  skąd po przekształceniu względem I, dostaniemy:

$$I = \sqrt{\frac{\mathstrut E}{R \hspace{.05cm} t}}$$

Po wyrażeniu energii w J (1kWh = 3 600 000 J) oraz czasu w sekundach (0,5 h = 1800 s) otrzymamy szukaną wartość natężenia prądu równą I  = 10 A.

Opór R  dowolnego przewodnika możemy wyrazić wzorem  $R = \rho \hspace{.05cm} \frac{l}{S}$,  gdzie ρ  - opór właściwy, l  - długość, S  - pole przekroju poprzecznego przewodnika. Po przecięciu przewodnika na dwie równe połowy, opór każdej części będzie równy  $R = \rho \hspace{.05cm} \frac{0,5 \hspace{.05cm} l}{S}$.  Po podstawieniu tych oporów do wyrażenia pozwalającego obliczyć opór zastępczy oporników połączonych równolegle dostaniemy, że:

$$R_z = \tfrac{1}{4} \hspace{.05cm} \rho \hspace{.05cm} \tfrac{l}{S} = \tfrac{1}{4} \hspace{.05cm} R$$

Przekształcając wyrażenie  $R = \rho \hspace{.05cm} \frac{l}{S}$  względem oporu właściwego ρ, dostaniemy:

$$\rho = \frac{R \hspace{.05cm} S}{l}$$

Korzystając z definicji oporu  $R = U \hspace{.05cm} I$,  otrzymamy:

$$\rho = \frac{U \hspace{.05cm} S}{l \hspace{.05cm} I}$$

Brakującymi przyrządami są więc przymiar metrowy do wyznaczenia długości l  oraz śruba mikrometryczna do wyznaczenia pola przekroju poprzecznego S  przewodnika.