Test: Energia w ruchu harmonicznym – poziom łatwy

Zobacz energia w ruchu harmonicznym.

Zobacz energia w ruchu harmonicznym.

Aby rozwiązać to zadanie należy zauważyć dwie rzeczy:

a) maksymalny pęd p  ciała, podobnie jak energia kinetyczna E_k , osiągany jest w punkcie położenia równowagi (x = 0 m) ciała drgającego harmonicznie. Energia całkowita E_c  ciała w tym punkcie jest równa energii kinetycznej ciała: $E_c = E_k = \frac{p^2}{2 m}$,

b) w punkcie maksymalnego wychylenia ciała z położenia równowagi energia potencjalna E_p  przyjmuje maksymalną wartość, w związku z czym  $E_c = E_p$.

Porównując stronami obydwa wzory, dostaniemy:

$$E_p = \frac{p^2}{2 \hspace{.05cm} m} = 25 \cdot 10^{-6} \hspace{.05cm} \textrm{J}$$

Aby wyznaczyć częstość kołową drgań ω  układu sprężyna - ciężarek skorzystamy ze wzoru  $k = m \hspace{.05cm} \omega^2$  (zobacz: Siła w ruchu harmonicznym). Stała sprężystości k  sprężyny nie jest znana. Możemy ją jednak wyznaczyć ze wzoru  $F = \hspace{.1cm} - \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} x$,  ponieważ znamy reakcję sprężyny (zmiana długości) na przyłożoną do niej siłę. Po przekształceniu wzoru na siłę względem stałej k  i pominięciu znaku minus (interesuje nas wartość reakcji sprężyny na działającą siłę), otrzymamy:

$$k = \frac{F}{x}$$

Tak więc:

$$m \hspace{.05cm} \omega^2 = \frac{F}{x}$$

Po przekształceniu powyższego wzoru względem częstości kołowej ω, dostaniemy:

$$\omega = \sqrt{\frac{\mathstrut F}{m \hspace{.05cm} x}} = 10 \hspace{.05cm} \textrm{s}^{-1}$$

Wiemy, że w położeniu równowagi energia kinetyczna E  ciała drgającego ruchem harmonicznym odpowiada jego całkowitej energii drgań E_c , dlatego

$$E = E_c = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2$$

Gdy wychylenie ciała będzie równe  $x = \frac{A}{2}$,  wówczas jego całkowita energia drgań będzie wynosić  $E_c = E_p + E$,  gdzie E_p  to energia potencjalna drgań ciała równa

$$E_p = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} x^2$$

Przekształcając wyrażenie na energię całkowitą względem energii kinetycznej, dostaniemy:

$$E = E_c \hspace{.1cm} - \hspace{.05cm} E_p = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2 \hspace{.1cm} - \hspace{.05cm} \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} \tfrac{A^2}{4}$$

Po wykonaniu obliczeń, uzyskamy:

$$E_k = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} \tfrac{3 \hspace{.05cm} A^2}{4}$$

Ponieważ  $E_c = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2$,  zatem:

$$E = \tfrac{3}{4} \hspace{.05cm} E_c$$

Gdy ciało drgające ruchem harmonicznym osiąga maksymalną wartość energii kinetycznej, jego energia potencjalna wynosi 0 J. Oznacza to, że E_kmax  = E_c , gdzie E_c  to całkowita energia drgań ciała równa:

$$E_c = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2$$

Stałą sprężystości k  możemy wyrazić jako:

$$k = m \hspace{.05cm} \omega^2 = m \hspace{.05cm} \frac{4 \hspace{.05cm} \pi^2}{T^2}$$

Po podstawieniu i skróceniu, dostaniemy:

$$E_{kmax} = E_c = \frac{2 \hspace{.05cm} \pi^2 \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} A^2}{T^2}$$

Wzór, który otrzymaliśmy odpowiada sytuacji przed zmianą okresu T. Gdy okres zmaleje trzykrotnie, otrzymamy:

$$E_{kmax2} = \frac{2 \hspace {.05cm} \pi^2 \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} A^2}{\left(\frac{T}{3}\right)^2} = \frac{18 \hspace{.05cm} \pi^2 \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} A^2}{T^2}$$

Porównując obydwa wzory możemy stwierdzić, że energia kinetyczna ciała po zmianie okresu T  wzrośnie dziewięciokrotnie.

Zobacz energia w ruchu harmonicznym.

Zacznijmy od zapisania warunku równości energii potencjalnej i kinetycznej ciała: E_p  = E_k . Wiemy, że:

$$E_p = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2 = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} \omega^2 \hspace{.05cm} A^2 \hspace{.05cm} \textrm{cos}^2 \left(\omega \hspace{.05cm} t + \varphi \right)$$

oraz, że:

$$E_k = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} V^2 = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} \omega^2 \hspace{.05cm} A^2 \hspace{.05cm} \textrm{sin}^2 \left(\omega \hspace{.05cm} t + \varphi \right)$$

Po przyrównaniu stronami i skróceniu, otrzymamy:

$$\textrm{cos}^2 \left(\omega \hspace{.05cm} t + \varphi \right) = \textrm{sin}^2 \left(\omega \hspace{.05cm} t + \varphi \right)$$

Po skorzystaniu z jedynki trygonometrycznej  $\textrm{sin}^2 x + \textrm{cos}^2 x = 1$,  uzyskamy:

$$2 \hspace{.05cm} \textrm{cos}^2 \left(\omega \hspace{.05cm} t + \varphi \right) = 1$$

i w konsekwencji:

$$\omega \hspace{.05cm} t + \varphi = \frac{\pi}{4}$$

Znając fazę drgań możemy przystąpić do obliczenia wychylenia:

$$x^2 = \frac{m \hspace{.05cm} V^2}{k} = \frac{m \hspace{.05cm} \omega^2 \hspace{.05cm} A^2 \hspace{.05cm} \rm{cos}^2 \left(\frac{\pi}{4} \right)}{m \hspace{.05cm} \omega^2}$$

Po skróceniu i spierwiastkowaniu, dostaniemy:

$$x = \tfrac{\sqrt{2}}{2} \hspace{.05cm} A$$

Zarówno wartość siły, energii potencjalnej, jak i energii kinetycznej ciała drgającego ruchem harmonicznym zależy bezpośrednio, bądź pośrednio od wychylenia ciała x , w związku z czym wielkości te są uzależnione od początkowej fazy drgań φ. Wielkością niezależną od fazy drgań jest energia całkowita, której wartość zależy tylko od stałej sprężystości k  oraz amplitudy drgań A: $$E_c = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2$$

Zacznijmy od zapisania wzoru na energię całkowitą w ruchu harmonicznym:

$$E_c = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} k \hspace{.05cm} A^2 = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} \omega^2 \hspace{.05cm} A^2 = \frac{2 \hspace{.05cm} \pi^2 \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} A^2}{T^2}$$

Wzór ten opisuje początkową energię całkowitą ciała (przed zmianą T  i A ). Po zmianie okresu i amplitudy drgań wzór ten przyjmie następującą postać:

$$E_{c} = \frac{2 \hspace{.05cm} \pi^2 \hspace{.05cm} m \cdot 16 \hspace{.05cm} A^2}{16 \hspace{.05cm} T^2} =\frac{2 \hspace{.05cm} \pi^2 \hspace{.05cm} m \hspace{.05cm} A^2}{T^2}$$

Widzimy więc, że energia całkowita ciała nie ulegnie zmianie.