Zasięg rzutu ukośnego – wyprowadzenie wzoru

Wyprowadzenie wzoru:

Zgodnie z definicją zasięg rzutu ukośnego Z  to odległość przebyta przez ciało w poziomie od chwili jego wyrzutu do chwili powrotu na wysokość, z której ciało to zostało wyrzucone. Interesuje nas zatem przemieszczenie ciała x – x₀ = Z  (zobacz: Rzut ukośny):

$$x \hspace{.15cm} – \hspace{.1cm} x_0 = Z = V_0 \hspace{.1cm} \textrm{cos} \hspace{.05cm} \alpha \hspace{.1cm} t$$

Ponieważ y – y₀ = 0  (ciało wraca na wysokość, z której zostało wyrzucone), dlatego:

$$y \hspace{.15cm} – \hspace{.1cm} y_0 = 0 = V_0 \hspace{.1cm} \textrm{sin} \hspace{.05cm} \alpha \hspace{.1cm} t \hspace{.1cm} – \hspace{.1cm} \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} g \hspace{.05cm} t^2 \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} V_0 \hspace{.1cm} \textrm{sin} \hspace{.05cm} \alpha \hspace{.1cm} t = \tfrac{1}{2} \hspace{.05cm} g \hspace{.05cm} t^2$$

Mamy stąd:

$$t = \frac{2 \hspace{.05cm} V_0 \hspace{.05cm} \textrm{sin} \hspace{.05cm} \alpha}{g}$$

Po wstawieniu powyższego wyrażenia do wzoru na Z  dostaniemy:

$$Z = V_0 \hspace{.1cm} \textrm{cos} \hspace{.05cm} \alpha \hspace{.1cm} t = V_0 \hspace{.1cm} \textrm{cos} \hspace{.05cm} \alpha \hspace{.1cm} \cdot \frac{2 \hspace{.05cm} V_0 \hspace{.05cm} \textrm{sin} \hspace{.05cm} \alpha}{g} = \frac{2 \hspace{.05cm} V_0^2 \hspace{.05cm} \textrm{sin} \hspace{.05cm} \alpha \hspace{.05cm} \textrm{cos} \hspace{.05cm} \alpha}{g}$$

Korzystając z zależności trygonometrycznej:

$$\textrm{sin} \hspace{.05cm} 2 \hspace{.05cm} \alpha = 2 \hspace{.05cm} \hspace{.05cm} \textrm{sin} \hspace{.05cm} \alpha \hspace{.05cm} \textrm{cos} \hspace{.05cm} \alpha \hspace{1cm} \longrightarrow \hspace{1cm} \textrm{sin} \hspace{.05cm} \alpha \hspace{.05cm} \textrm{cos} \hspace{.05cm} \alpha = \frac{\textrm{sin} \hspace{.05cm} 2 \hspace{.05cm} \alpha}{2}$$

otrzymamy:

$$Z = \frac{2 \hspace{.05cm} V_0^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \textrm{sin} \hspace{.05cm} 2 \hspace{.05cm} \alpha}{g} = \frac{V_0^2}{g} \hspace{.05cm} \textrm{sin} \hspace{.05cm} 2 \hspace{.05cm} \alpha$$